logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 932

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

kamilka12345
postów: 28
2013-01-23 15:16:55

Udowodnić, że jeśli rz(a)=nm, to rz($a^{n}$)=m.


tumor
postów: 8070
2013-01-23 21:38:26

jeśli $rz(a)=nm$, to $a^{nm}=1$ i dla $0<x<nm$ mamy $a^x\neq 1$

skoro tak, to $(a^n)^m=1$, czyli $rz(a^n)\le m$.

Jeśli $y=rz(a^n)<m$, to $a^{ny}=1$ i $0<ny<nm$, sprzeczność, zatem
$rz(a^n)=m$


---------

Przy okazji: rz to literki. () to nawiasiki. mn to znów literki. A gdyby powiedzieć, że mówimy o rzędach elementów grupy w zapisie multiplikatywnym to by było jaśniej. :)


kamilka12345
postów: 28
2013-02-24 14:27:51

Prawdą jest, że:

Jeśli rz(a)=nm, to $a^{nm}$=1 i dla 0<x<nm mamy $a^{x}\neq$1.

Jeśli y=rz($a^{n}$)<m, to $a^{ny}$=1 i 0<ny<nm - i to tu wynika sprzeczność ze zdania pierwszego

Zatem rz($a^{n})\ge$m.

Udowodnić trzeba: rz($a^{n})\le$m


tumor
postów: 8070
2013-02-24 19:27:34

Wyżej napisałem, że skoro $a^{nm}=1$ to także $(a^n)^m=1$
Twoim zdaniem z tego nie wynika, że $rz(a^n)\le m$? :>



kamilka12345
postów: 28
2013-02-28 14:10:19

no właśnie to nie było przydatne
pokazałam to zadanie wykładowcy i skreślił to .... :(


tumor
postów: 8070
2013-02-28 14:19:20

To mógł powiedzieć, czemu skreślił. :) Trzeba zapytać, jakiś kontakt z wykładowcą mieć. A tu pytasz na forum, a wykładowca służy tylko do skreślania. :)
Argument proszę, a nie autorytet!


kamilka12345
postów: 28
2013-02-28 14:26:24

"ponieważ ta sprzeczność wynika z pierwszego zdania .... to drugie jest tu całkowicie niepotrzebne" .... cytuje Pana Doktora :)


tumor
postów: 8070
2013-02-28 14:36:06

Cóż, może niedokładnie spojrzał.

Pokazujemy równość dzieląc na dwa etapy, $\le$ i $\ge$.

Że $rz(a^n)\le m$ wiemy, bo m jest jedną z liczb, dla których $(a^n)^m=1$
Mogą być mniejsze, ale pokazujemy, że gdyby istniała mniejsza, to mielibyśmy sprzeczność z całym założeniem zadania, że $rz(a)=mn$, czyli nie ma liczby k pomiędzy 0 a mn, dla której $a^k$ daje 0.

----

Można te same argumenty zastosować w drugą stronę, ale będą te same. :)



Wiadomość była modyfikowana 2013-02-28 14:36:43 przez tumor

kamilka12345
postów: 28
2013-02-28 14:42:00

oby tym razem zadanie było dla Niego rozwiązane poprawnie :) dziękuje Ci bardzo :)


tumor
postów: 8070
2013-02-28 15:46:26

Ale to jest wszystko to samo. Po prostu chciałbym jasnego wyłożenia mi, dlaczego te argumenty nie wystarczają :)

W razie czego spisz z książek :P Gdzieś taką własność się pewnie udowadnia.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 21 drukuj