Analiza matematyczna, zadanie nr 970

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
3wcia13 postów: 12	2013-01-29 13:58:47 1. Obliczyć (o ile istnieją) poniższe granice: a) $\lim_{x \to 1}_{y \to 0} \frac{\sin(1-x^2-y^2)}{1-\sqrt{x^2+y^2}}$ b) $\lim_{x \to 0}_{y \to 0}(1+x^2+y^2)^{\frac{1}{x^2\cdot y^2}}$ 2. Wyznaczyć (o ile istnieją)wszystkie ekstrema lokalne funkcji $f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ danej wzorem: $f(x,y)=x^4+y^4-2x^2-2y^2+4xy$ 3. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji $f(x,y)=x^2+xy+y^2$ na zbiorze $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\|x\|+\|y\|\le 4\}$ 4. Wyznaczyć (o ile istnieją)ekstrema lokalne wszystkich funkcji $y=y(x)$ uwikłanych równaniem $x^3y-3xy^3+6=0$ 5. Wyznaczyć (o ile istnieją) ekstrema lokalne funkcji $f(x,y)=2x+2y$ przy warunku $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=2$

tumor postów: 8070	2015-09-07 13:19:56 1. a) skoro $x\to 1, y\to 0$, to z całą pewnością $u=x^2+y^2\to 1$ $\lim_{u \to 1}\frac{sin(1-u)}{1-u}(1+\sqrt{u})\to 2$ b) gdyby w wykładniku było dodawanie, to byłoby oczywiście od razu e, ale skoro to nie jest dodawanie, tylko mnożenie, to mamy większy kłopot. Funkcja nie jest określona w żadnym sąsiedztwie punktu (0,0), wobec czego można uznać, że granica nie istnieje. Policzyć można pewną analogię granicy jednostronnej, czyli wynik dla ciągów$(x_n,y_n)$ wyrazów należących do dziedziny. Dziękuję, janusz78, za konsultację* $\lim_{x \to 0,y\to 0}((1+x^2+y^2)^\frac{1}{x^2+y^2})^\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}$ Policzmy oddzielnie $\lim_{x \to 0,y\to 0}\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}$ Ustalmy $\epsilon>0$ Niech $x_n\to 0, y_n\to 0$, wówczas dla pewnego k i n>k jest $\frac{x_n^2}{x_n^2y_n^2}>\frac{1}{\epsilon}$ Analogicznie gdy zamienimy miejscami x i y. Zatem nasz wykładnik rośnie nieograniczenie, granicą jest $\infty$ Wiadomość była modyfikowana 2015-09-07 17:28:54 przez tumor

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj