logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 970

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

3wcia13
postów: 12
2013-01-29 13:58:47

1. Obliczyć (o ile istnieją) poniższe granice:
a) $\lim_{x \to 1}_{y \to 0} \frac{\sin(1-x^2-y^2)}{1-\sqrt{x^2+y^2}}$
b) $\lim_{x \to 0}_{y \to 0}(1+x^2+y^2)^{\frac{1}{x^2\cdot y^2}}$

2. Wyznaczyć (o ile istnieją)wszystkie ekstrema lokalne funkcji $f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ danej wzorem: $f(x,y)=x^4+y^4-2x^2-2y^2+4xy$

3. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji $f(x,y)=x^2+xy+y^2$ na zbiorze $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:|x|+|y|\le 4\}$

4. Wyznaczyć (o ile istnieją)ekstrema lokalne wszystkich funkcji $y=y(x)$ uwikłanych równaniem $x^3y-3xy^3+6=0$

5. Wyznaczyć (o ile istnieją) ekstrema lokalne funkcji $f(x,y)=2x+2y$ przy warunku $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=2$


tumor
postów: 8070
2015-09-07 13:19:56

1.
a) skoro $x\to 1, y\to 0$, to z całą pewnością $u=x^2+y^2\to 1$

$\lim_{u \to 1}\frac{sin(1-u)}{1-u}*(1+\sqrt{u})\to 2$

b) gdyby w wykładniku było dodawanie, to byłoby oczywiście od razu e, ale skoro to nie jest dodawanie, tylko mnożenie, to mamy większy kłopot.
Funkcja nie jest określona w żadnym sąsiedztwie punktu (0,0), wobec czego można uznać, że granica nie istnieje.
Policzyć można pewną analogię granicy jednostronnej, czyli wynik dla ciągów$(x_n,y_n)$ wyrazów należących do dziedziny.
Dziękuję, janusz78, za konsultację

$\lim_{x \to 0,y\to 0}((1+x^2+y^2)^\frac{1}{x^2+y^2})^\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}$

Policzmy oddzielnie
$\lim_{x \to 0,y\to 0}\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}$
Ustalmy $\epsilon>0$
Niech $x_n\to 0, y_n\to 0$, wówczas dla pewnego k i n>k jest
$\frac{x_n^2}{x_n^2y_n^2}>\frac{1}{\epsilon}$
Analogicznie gdy zamienimy miejscami x i y. Zatem nasz wykładnik rośnie nieograniczenie, granicą jest $\infty$

Wiadomość była modyfikowana 2015-09-07 17:28:54 przez tumor
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 21 drukuj