Logika, zadanie nr 98
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
cherryvis3 post贸w: 1 |  2011-01-27 20:07:46Zad.1 Udowodnij, 偶e istnieje zbi贸r $A\subseteq R^2$ o nast臋puj膮cych w艂asno艣ciach: 呕adne trzy punkty nie le偶膮 na jednej prostej Ka偶dy punkt $x \in R^2 \setminus A$ nale偶y do pewnej prostej przechodz膮cej przez dwa r贸偶ne punkty zbioru A. Udowodni膰, 偶e ka偶dy zbi贸r $A\subseteq R^2$ o w艂asno艣ciach z punktu a) jest nieprzeliczalny. Wskaz贸wki Korzystaj膮c z lematu Kuratowskiego-Zorna, udowodni膰, 偶e istnieje element maksymalny w rodzinie X z艂o偶onej ze wszystkich zbior贸w $A\subseteq R^2$ o w艂asno艣ci (1). Wykaza膰, 偶e zbi贸r $A\inX$ jest elementem maksymalnym rodziny X wtedy i tylko wtedy, gdy spe艂nia warunek (2) Dla dowodu punktu b) wykaza膰, ze je艣li zbi贸r $A\subseteq R^2$ jest co najwy偶ej przeliczalny, to nie jest elementem maksymalnym rodziny X. W tym celu udwodni膰, 偶e p艂aszczyzna nie jest sum膮 偶adnej przeliczalnej rodziny prostych (wskaz贸wka: dla dowolnej rodziny prostych istnieje prosta, kt贸ra nie jest r贸wnoleg艂a do 偶adnej z nich. |
tumor post贸w: 8070 | 2012-09-23 22:22:18 LKZ da dow贸d niekonstruktywny. Mo偶e pro艣ciej? Dowolny okr膮g o dodatnim, sko艅czonym promieniu spe艂nia warunki zadania. Je艣li ju偶 chcemy u偶ywa膰 LKZ to, na bog贸w Olimpu, nie na si艂臋, a tam, gdzie skutkuje ciekawym twierdzeniem. Druga cz臋艣膰 zadania wymaga przynajmniej nieco teorii mnogo艣ci. Przypu艣膰my, 偶e $A$ jest przeliczalny. Wtedy dla ka偶dego $a\in A$ mo偶emy stworzy膰 zbi贸r $T_a$ prostych przechodz膮cych przez $a$ i jeszcze inny punkt $A$. $T_a$ jest przeliczalny. Zbior贸w $T_a$ jest przeliczalnie wiele. Czyli otrzymaliby艣my tylko przeliczalnie wiele zbior贸w przeliczalnych, a nietrudno pokaza膰, 偶e suma takiej rodziny - oznaczmy j膮 $T$ - jest przeliczalna. (Na przyk艂ad ka偶dy zbi贸r przeliczalny $T_a$ jest r贸wnoliczny z podzbiorem post臋pu geometrycznego $p_a^n$, gdzie $p_i$, $p_j$ s膮 r贸偶nymi liczbami pierwszymi dla $i\neq j$, zatem suma rodziny jest r贸wnoliczna z podzbiorem $N$). Mamy zatem przeliczalnie wiele prostych w zbiorze $T$. Pozostaje wykaza膰, 偶e proste te nie pokrywaj膮 p艂aszczyzny. Ka偶da (no, poza pionowymi) prosta daje si臋 zapisa膰 jako $y=cx+d$. Wsp贸艂czynnik kierunkowy $c$ jest liczb膮 rzeczywist膮, liczb rzeczywistych nie jest przeliczalnie wiele, czyli istnieje prosta o innym wsp贸艂czynniku kierunkowym ni偶 proste w $T$. Ta prosta nie jest r贸wnoleg艂a do 偶adnej z tych prostych. Zatem z ka偶d膮 z nich ma jeden punkt wsp贸lny. Zatem przeliczalnie wiele punkt贸w naszej prostej le偶y zarazem na pewnej prostej z $T$. Ale pozosta艂e nieprzeliczalne mn贸stwo punkt贸w prostej tego warunku nie spe艂nia, sprzeczno艣膰, czyli za艂o偶enie o przeliczalno艣ci zbioru $A$ by艂o do bani. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj