Algebra, zadanie nr 982

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
sigma123 postów: 4	2013-01-29 23:32:43 Niech $E=\{e_1,..., e_n\}$ - baza przestrzeni $V$, $A:E \times E\rightarrow K$ - dowolne odwzorowanie. Wtedy istnieje dokładnie jedna forma dwuliniowa $B:V \times V\rightarrow K$ taka, że $B(e_i,e_j)=A(e_i,e_j)$ dla każdych $e_i$, $e_j$ należących do E. Jak to pokazać?

tumor postów: 8070	2015-09-07 12:58:24 Założyć, że istnieją dwie takie formy dwuliniowe, oznaczmy B i B`. Obie spełniają warunki z treści zadania. Skoro E jest bazą, to $v\in V$ ma jednoznaczne przedstawienie w postaci $v=\sum_{i=1}^na_ie_i$, gdzie $a_i$ są skalarami z K. Niech zatem $w=\sum_{j=1}^nb_je_j$ Policzmy $B(v,w)=$ korzystamy z faktu, że B jest formą dwuliniową, czyli $=\sum_{i=1}^n a_iB(e_i,w) =\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n b_ja_i B(e_i,e_j)$ i analogicznie $B'(v,w)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n b_ja_i B'(e_i,e_j)$ ale wobec równości form na elementach $E\times E$ otrzymujemy $B(v,w)=B`(v,w)$ dla wszystkich $v,w\in V$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj