logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 987

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

isia1234
postów: 11
2013-01-30 14:56:57

1.Rozwiązać równanie w ciele liczb zespolonych:
(1+i)*z^2-(2+3i)*z+2+i=0
Mi wyszlo z=i+2 lub z=1/2-1/2i
Czy mógłby ktoś sprawdzić czy to poprawny wynik?

2.Rozwiązać układ równań metodą Gaussa(o ile jest to możliwe)
x-2y+3z=-1
3y-4z=3
2x-y+2z=1
Bardzo proszę o pomoc:)


tumor
postów: 8070
2013-01-30 15:30:22

$ (1+i)*z^2-(2+3i)*z+2+i=0$

$\Delta=-9$

$z_1=\frac{2+3i-3i}{2(1+i)}=\frac{1}{2}-\frac{i}{2}$
$z_2=\frac{1+3i}{1+i}=2+i$

Jeśli nie popełniłem tego samego błędu, to ten wynik jest ok :)


isia1234
postów: 11
2013-01-30 15:34:27

Super:) bardzo dziękuje za rozwiązanie:)


tumor
postów: 8070
2013-01-30 15:36:54

$x-2y+3z=-1$
$3y-4z=3$
$2x-y+2z=1$

Od trzeciego równania odejmujemy pierwsze pomnożone przez 2

$x-2y+3z=-1$
$3y-4z=3$
$3y-4z=3$

Równania wyszły identyczne, jedno można skreślić

$x-2y+3z=-1$
$3y-4z=3$

Mamy mniej równań niż niewiadomych, zatem rozwiązanie będzie zawierało parametr. Niech parametrem będzie $z=p$.

$x-2y=-1-3p$
$3y=3+4p$

$y=1+\frac{4}{3}p$
$x=-1-3p+2(1+\frac{4}{3}p)=1-\frac{1}{3}p$
$z=p$


isia1234
postów: 11
2013-01-30 15:41:01

ok dzięki bardzo:) a w jakim przypadku nie istniałoby rozwiązanie tego układu?


tumor
postów: 8070
2013-01-30 16:00:49

Układ ma rozwiązanie, jeśli rząd macierzy układu (czyli macierzy współczynników bez kolumny wyrazów wolnych) jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej (czyli po dodaniu kolumny wyrazów wolnych).

Po dodaniu tej kolumny rząd macierzy pozostaje bez zmian lub zwiększa się. Trzeba sprawdzić, czy się aby nie zwiększył.

Nasza macierz układu jest kwadratowa. Gdyby jej wyznacznik nie był 0, to rząd byłby 3 i macierz uzupełniona nie mogłaby mieć większego rzędu, to by gwarantowało rozwiązanie (a nawet jedno jedyne rozwiązanie).
W tym przypadku wyznacznik macierzy układu jest równy 0, ale łatwo znaleźć podmacierz wymiaru 2x2, której wyznacznik nie jest 0. Zatem rząd macierzy układu jest 2. (Rząd można też sprawdzać inaczej, ale wszystkiego uczyć nie będę:P).
Pozostaje sprawdzić, że macierz uzupełniona ma rząd 2. Albo jakąś inną metodą albo przez przeliczenie wszystkich wyznaczników podmacierzy 3x3 (wszystkie są 0, zatem rząd macierzy uzupełnionej też jest 2).

Gdyby zatem wyznacznik macierzy układu był 0 (to znaczy rząd mniejszy niż 3), a wyznacznik jakiejś podmacierzy 3x3 macierzy uzupełnionej byłby niezerowy (to znaczy rząd 3), to układ rozwiązania by nie miał.

Rozwiązując układ metodą Gaussa można się natknąć na jakieś sprzeczności. Na przykład

3x-y=7
3x-y=2
Każda taka sprzeczność też wyklucza istnienie rozwiązania.

O rozwiązywalności układu mówi Twierdzenie Kroneckera-Capellego


isia1234
postów: 11
2013-01-30 16:04:30

już wszystko jasne:) jeszcze raz bardzo dziękuje za dokładne wytłumaczenie:)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj