Konkursy, zadanie nr 1
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
pio314 post贸w: 22 |  2010-03-12 12:57:10P艂ywaj膮c po jeziorze w kszta艂cie ko艂a, Pawe艂 znalaz艂 si臋 w miejscu, z kt贸rego, aby osi膮gn膮膰 brzeg, p艂yn膮c: - na zach贸d - musia艂 pokona膰 dystans 20m, - na wsch贸d - 60m, - na po艂udnie 30m. Jaki dystans b臋dzie musia艂 pokona膰 z miejsca, w kt贸rym si臋 znajduje, p艂yn膮c w kierunku p贸艂nocnym?  Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2010-03-12 22:04:48 przez pio314 |
zorro post贸w: 106 | 2010-04-17 05:45:14 Niech \"S\" b臋dzie 艣rodkiem okr臋gu (jeziora) a \"R\" jego promieniem. Przez \"a\" oznaczmy d艂ugo艣膰 ci臋ciwy wsch贸d-zach贸d, a przez \"b\" d艂ugo艣膰 ci臋ciwy p贸艂noc po艂udnie. Nasz p艂ywak znajduje si臋 na przeci臋ciu ci臋ciw w pkt.\"P\". Z rysunku wida膰, 偶e: a=20+60=80 b=x+30 Ci臋ciwa \"a\" oraz promienie \"R\" 艂膮cz膮ce jej ko艅ce ze 艣rodkiem \"S\" tworz膮 tr贸jk膮t r贸wnoramienny. Oznaczmy jego wysoko艣膰 (poprowadzon膮 od 艣rodka ci臋ciwy do 艣rodka ko艂a) przez $h_{1}$. Ci臋ciwa \"b\" oraz promienie \"R\" 艂膮cz膮ce jej ko艅ce ze 艣rodkiem \"S\" tak偶e tworz膮 tr贸jk膮t r贸wnoramienny. Oznaczmy jego wysoko艣膰 (poprowadzon膮 od 艣rodka ci臋ciwy do 艣rodka ko艂a) przez $h_{2}$. Z twierdzenia pitagorasa mamy: $R^{2}=(\frac{a}{2})^{2}+h_{1}^{2}$ przy czym $h_{1}=\frac{b}{2}-30=\frac{x+30}{2}-30=\frac{x-30}{2}$ Podobnie w drugim tr贸jk膮cie: $R^{2}=(\frac{b}{2})^{2}+h_{2}^{2}$ przy czym $h_{2}=\frac{a}{2}-20=\frac{80}{2}-20=20$ Wobec r贸wno艣ci promieni mamy r贸wnanie: $(\frac{80}{2})^{2}+(\frac{x-30}{2})^{2}=(\frac{x+30}{2})^{2}+20^{2}$ $\frac{(x-30)^{2}}{4}+1600=\frac{(x+30)^{2}}{4}+400$ $\frac{(x+30)^{2}}{4}-\frac{(x-30)^{2}}{4}=1200$ $(x+30)^{2}-(x-30)^{2}=4\cdot1200$ $x^{2}+60x+900-x^{2}+60x-900=4\cdot1200$ $120x=4\cdot1200$ x=40 Odp. w kierunku p贸艂nocnym Pawe艂 ma do przep艂yni臋cia 40m. |
zorro post贸w: 106 | 2010-04-17 05:54:52 Proponuj臋 rozwin膮膰 to zadanie o trudniejsze nieco pytanie: Jaka jest najd艂u偶sza droga, jak膮 Pawe艂 mo偶e wybra膰, a jaka najkr贸tsza, przy za艂o偶eniu, 偶e mo偶e p艂yn膮艣 \"po skosie\". Jaki azymut powinien obra膰 (k膮t wzgl臋dem kierunku PN-PD)? |
irena post贸w: 2636 | 2010-08-24 12:38:15 Najpro艣ciej chyba jednak wykorzysta膰 twierdzenie o odcinkach siecznych. W tym wypadku: $20\cdot60=x\cdot30\\x=40m$ twierdzenie to 艂atwo wykaza膰: Je艣li nazwiemy punkty na tym okr臋gu: A, B, C, D, gdzie A to punkt na po艂udniu, a kolejne to punkty na okr臋gu w ruchu odwrotnym do wskaz贸wek zegara. Punkt przeci臋cia ci臋ciw nazwiemy P, to tr贸jk膮ty APD i CPB s膮 podobne. (K膮ty DPA i CPB to k膮ty wierzcho艂kowe, a k膮ty ADP i ACB to k膮ty wpisane oparte na tym samym 艂uku- cecha (kkk)). Z podobie艅stwa tych tr贸jk膮t贸w: $\frac{|PD|}{|PA|}=\frac{|PC|}{|PB|}$ $\frac{20}{30}=\frac{x}{60}$ czyli: $20\cdot60=x\cdot30$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj