Inne, zadanie nr 101
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
sysia post贸w: 1 |  2012-11-09 17:30:35Obliczy膰 wyznacznik macierzy : 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 3 4 5 1 2 4 5 1 2 3 5 1 2 3 4 Prosi艂abym o dok艂adne obliczenie jeszcze nigdy nie mia艂am styczno艣ci z macierzami, a na 膰wiczeniach nie om贸wili艣my macierzy wi臋kszych ni偶 4x4. Nie wiem w og贸le jak to ma wygl膮da膰 ... bardzo prosi艂abym o pomoc i z g贸ry dzi臋kuj臋 :) |
tumor post贸w: 8070 | 2012-11-13 12:36:36 Mo偶na ten wyznacznik wyliczy膰 z tzw. rozwini臋cia Laplace\'a, masz macierz pi膮tego stopnia, mo偶na jej wyznacznik sprowadzi膰 do liczenia wyznacznik贸w macierzy czwartego stopnia, a z kolei te wyznaczniki do wyznacznik贸w macierzy trzeciego stopnia (kt贸re liczymy szybko), ale b臋dzie to du偶o liczenia, je艣li nie jeste艣 komputerem, a ryzyko jakiej艣 pomy艂ki znaczne. Rozs膮dniejszym wyj艣ciem jest przekszta艂canie tej macierzy, ale z zachowaniem wyznacznika. Je艣li do jakiego艣 wiersza dodasz inny wiersz pomno偶ony przez dowoln膮 liczb臋 rzeczywist膮, to wyznacznik si臋 nie zmieni. Na przyk艂ad do drugiego wiersza mo偶emy doda膰 pierwszy wiersz pomno偶ony przez -2. Wyjdzie: $\left[\begin{matrix} 1&2&3&4&5\\ 0&-1&-2&-3&-9\\ 3&4&5&1&2\\ 4&5&1&2&3\\ 5&1&2&3&4\\ \end{matrix}\right]$ Uzyskana macierz ma taki sam wyznacznik jak wyj艣ciowa (czego si臋 dowodzi na wyk艂adzie :P). Mo偶emy post膮pi膰 analogicznie, 偶eby wyzerowa膰 ca艂膮 pierwsz膮 kolumn臋 (czyli do trzeciego, czwartego i pi膮tego wiersza dodajemy pierwszy przemno偶ony przez odpowiednie liczby). B臋dzie $\left[\begin{matrix} 1&2&3&4&5\\ 0&-1&-2&-3&-9\\ 0&-2&-4&-11&-13\\ 0&-3&-11&-14&-17\\ 0&-9&-13&-17&-21\\ \end{matrix}\right]$ Wysz艂o troch臋 liczb ujemnych. Je艣li pomno偶ysz ca艂y wiersz przez liczb臋 -1, to ca艂y wyznacznik zmieni Ci si臋 na przeciwny. Ale je艣li zrobisz to z dwoma (lub czterema, sze艣cioma,...) wierszami, to wyznacznik wr贸ci do wyj艣ciowego. Czyli powy偶sza macierz ma ten sam wyznacznik co: $\left[\begin{matrix} 1&2&3&4&5\\ 0&1&2&3&9\\ 0&2&4&11&13\\ 0&3&11&14&17\\ 0&9&13&17&21\\ \end{matrix}\right]$ I mo偶emy powt贸rzy膰 nasz膮 czynno艣膰 zerowania kolejnych miejsc w macierzy. Teraz u偶yjemy wiersza drugiego, dodamy go: pomno偶ony przez -2 do trzeciego pomno偶ony przez -3 do czwartego pomno偶ony przez -9 do pi膮tego $\left[\begin{matrix} 1&2&3&4&5\\ 0&1&2&3&9\\ 0&0&0&5&-5\\ 0&0&5&5&-10\\ 0&0&-5&-10&-60\\ \end{matrix}\right]$ dodajmy teraz czwarty wiersz do pi膮tego, a nast臋pnie trzeci do pi膮tego $\left[\begin{matrix} 1&2&3&4&5\\ 0&1&2&3&9\\ 0&0&0&5&-5\\ 0&0&5&5&-10\\ 0&0&0&0&-75\\ \end{matrix}\right]$ Je艣li zamienimy miejscami dwa wiersze, to wyznacznik pomno偶y si臋 nam przez -1. Podobnie je艣li ostatni wiersz pomno偶ymy przez -1, to ca艂y wyznacznik pomno偶y si臋 przez -1. Ale je艣li wykonamy obie te operacje, to wyznacznik pozostanie niezmieniony, prawda? Zatem: $\left[\begin{matrix} 1&2&3&4&5\\ 0&1&2&3&9\\ 0&0&5&5&-10\\ 0&0&0&5&-5\\ 0&0&0&0&75\\ \end{matrix}\right]$ Uzyskali艣my macierz tr贸jk膮tn膮. Wykonywali艣my tylko operacje, kt贸re zachowywa艂y wyznacznik niezmieniony. Nowa macierz ma ten sam wyznacznik, co macierz z zadania. A dla macierzy tr贸jk膮tnej policzy膰 go 艂atwo: to po prostu iloczyn wyraz贸w na przek膮tnej. $1*1*5*5*75=1875$ ---- Uwaga: wygodnie mi by艂o robi膰 operacje na wierszach, bra艂em wiersz, mno偶y艂em przez liczb臋 i dodawa艂em do innego. To samo mo偶na robi膰 z kolumnami: kolumn臋 pomno偶on膮 przez liczb臋 doda膰 do innej kolumny. Takie dzia艂anie nie zmienia wyznacznika macierzy. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj