logowanie

matematyka » forum » zadania » zadanie

Inne, zadanie nr 101

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

sysia
postów: 1
2012-11-09 17:30:35

Obliczyć wyznacznik macierzy :

1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
3 4 5 1 2
4 5 1 2 3
5 1 2 3 4

Prosiłabym o dokładne obliczenie jeszcze nigdy nie miałam styczności z macierzami, a na ćwiczeniach nie omówiliśmy macierzy większych niż 4x4. Nie wiem w ogóle jak to ma wyglądać ... bardzo prosiłabym o pomoc i z góry dziękuję :)


tumor
postów: 8085
2012-11-13 12:36:36

Można ten wyznacznik wyliczyć z tzw. rozwinięcia Laplace'a, masz macierz piątego stopnia, można jej wyznacznik sprowadzić do liczenia wyznaczników macierzy czwartego stopnia, a z kolei te wyznaczniki do wyznaczników macierzy trzeciego stopnia (które liczymy szybko), ale będzie to dużo liczenia, jeśli nie jesteś komputerem, a ryzyko jakiejś pomyłki znaczne.

Rozsądniejszym wyjściem jest przekształcanie tej macierzy, ale z zachowaniem wyznacznika. Jeśli do jakiegoś wiersza dodasz inny wiersz pomnożony przez dowolną liczbę rzeczywistą, to wyznacznik się nie zmieni.

Na przykład do drugiego wiersza możemy dodać pierwszy wiersz pomnożony przez -2. Wyjdzie:

$\left[\begin{matrix}
1&2&3&4&5\\
0&-1&-2&-3&-9\\
3&4&5&1&2\\
4&5&1&2&3\\
5&1&2&3&4\\
\end{matrix}\right]$

Uzyskana macierz ma taki sam wyznacznik jak wyjściowa (czego się dowodzi na wykładzie :P).
Możemy postąpić analogicznie, żeby wyzerować całą pierwszą kolumnę (czyli do trzeciego, czwartego i piątego wiersza dodajemy pierwszy przemnożony przez odpowiednie liczby). Będzie

$\left[\begin{matrix}
1&2&3&4&5\\
0&-1&-2&-3&-9\\
0&-2&-4&-11&-13\\
0&-3&-11&-14&-17\\
0&-9&-13&-17&-21\\
\end{matrix}\right]$

Wyszło trochę liczb ujemnych. Jeśli pomnożysz cały wiersz przez liczbę -1, to cały wyznacznik zmieni Ci się na przeciwny. Ale jeśli zrobisz to z dwoma (lub czterema, sześcioma,...) wierszami, to wyznacznik wróci do wyjściowego. Czyli powyższa macierz ma ten sam wyznacznik co:

$\left[\begin{matrix}
1&2&3&4&5\\
0&1&2&3&9\\
0&2&4&11&13\\
0&3&11&14&17\\
0&9&13&17&21\\
\end{matrix}\right]$

I możemy powtórzyć naszą czynność zerowania kolejnych miejsc w macierzy. Teraz użyjemy wiersza drugiego, dodamy go:
pomnożony przez -2 do trzeciego
pomnożony przez -3 do czwartego
pomnożony przez -9 do piątego

$\left[\begin{matrix}
1&2&3&4&5\\
0&1&2&3&9\\
0&0&0&5&-5\\
0&0&5&5&-10\\
0&0&-5&-10&-60\\
\end{matrix}\right]$

dodajmy teraz czwarty wiersz do piątego, a następnie trzeci do piątego

$\left[\begin{matrix}
1&2&3&4&5\\
0&1&2&3&9\\
0&0&0&5&-5\\
0&0&5&5&-10\\
0&0&0&0&-75\\
\end{matrix}\right]$

Jeśli zamienimy miejscami dwa wiersze, to wyznacznik pomnoży się nam przez -1. Podobnie jeśli ostatni wiersz pomnożymy przez -1, to cały wyznacznik pomnoży się przez -1. Ale jeśli wykonamy obie te operacje, to wyznacznik pozostanie niezmieniony, prawda? Zatem:

$\left[\begin{matrix}
1&2&3&4&5\\
0&1&2&3&9\\
0&0&5&5&-10\\
0&0&0&5&-5\\
0&0&0&0&75\\
\end{matrix}\right]$

Uzyskaliśmy macierz trójkątną. Wykonywaliśmy tylko operacje, które zachowywały wyznacznik niezmieniony. Nowa macierz ma ten sam wyznacznik, co macierz z zadania. A dla macierzy trójkątnej policzyć go łatwo: to po prostu iloczyn wyrazów na przekątnej.

$1*1*5*5*75=1875$

----

Uwaga: wygodnie mi było robić operacje na wierszach, brałem wiersz, mnożyłem przez liczbę i dodawałem do innego. To samo można robić z kolumnami: kolumnę pomnożoną przez liczbę dodać do innej kolumny. Takie działanie nie zmienia wyznacznika macierzy.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 19 drukuj