logowanie

matematyka » forum » zadania » zadanie

Inne, zadanie nr 105

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

tomnow
postów: 10
2012-12-12 17:43:10

Mamy n listów i n zaadresowanych kopert. Na ile sposobów można listy włożyć do kopert tak aby k listów trafiło do właściwych kopert?


tumor
postów: 8085
2012-12-12 18:51:29

Z $n$ kopert wybieramy te $k$ kopert, w których listy będą właściwe. To zrobimy na ${n \choose k}$ sposobów.

Pozostałe listy mają być pomieszane, ale skutecznie, to znaczy nie mają trafić do właściwych kopert. Chodzi tu o liczbę permutacji bez punktów stałych, czyli tzw. nieporządków.
k-elementowych nieporządków jest

$D(k)=k!\sum_{i=0}^{k}\frac{(-1)^i}{i!}$
a nas interesują nieporządki pozostałych n-k elementów, czyli
$D(n-k)=(n-k)!\sum_{i=0}^{n-k}\frac{(-1)^i}{i!}$

Ostatecznie jest możliwości
${n \choose k}D(n-k)={n \choose k}(n-k)!\sum_{i=0}^{n-k}\frac{(-1)^i}{i!}$


tomnow
postów: 10
2012-12-13 10:35:01

Dzięki tumor, działa :)

Mam jeszcze takie zadanie nieco odwrotne:
Mamy zaadresowanych n listów. Na ile sposobów można włożyć listy do kopert tak, aby żaden list nie znalazł się we właściwej kopercie?


tumor
postów: 8085
2012-12-13 12:20:05

Jeśli rozumiem dobrze treść, to chodzi tu po prostu o liczbę n-elementowych nieporządków, czyli D(n).

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 35 drukuj