Konkursy, zadanie nr 115
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
frantic89 post贸w: 1 |  2013-02-27 00:35:17Witam, pewnie proste ale nie mog臋 na to wpa艣膰  $\frac{x}{y}$mod1=$\frac{1}{M}$ I tutaj pytanie: 1) Jak obliczy膰 x gdy znane jest y i M 2) Jak obliczy膰 y gdy znane jest x i M Warunki: -x i y mog膮 by膰 liczbami rzeczywistymi. -x > y . -M jest liczb膮 ca艂kowit膮. Nie wiem czy to takie proste, czy ja czego艣 nie widz臋  Z g贸ry WIELKIE DZI臉KI ZA POMOC!! |
zorro post贸w: 106 | 2013-03-14 09:56:35 Nie ma jednego rozwi膮zania, gdy偶 r贸wnanie $\frac{x}{y}mod1=\frac{1}{M}$ opisuje wszystkie ilorazy, kt贸rych reszta wynosi $\frac{1}{M}$. Zauwa偶, 偶e dzielenie ilorazu dw贸ch liczb przez 1 oznacza w艂a艣nie ten iloraz. Dzielenie liczby a mod(b) oznacza reszt臋 z dzielenia a przez b. Zatem dzielenie mod1 oznacza po prostu t臋 cz臋艣膰 wyniku , kt贸ra jest po przecinku (to w艂a艣nie jest reszta z dzielenia przez 1). Cz臋艣膰 ca艂kowita mo偶e by膰 wi臋c dowolna, tylko reszta ma by膰 jak podano u艂amkiem wymiernym w艂a艣ciwym. Innymi s艂owy aby spe艂ni膰 wymagania musi by膰: $\frac{x}{y}=k+\frac{1}{M}$ gdzie: $k=0,\pm1,\pm2...$ - liczba ca艂kowita zle偶na od x,y,M Przekszta艂caj膮c t膮 r贸wno艣膰 mo偶esz wyliczy膰 zar贸wno x jak i y: $x=\frac{k*M+1}{M}y$ $y=\frac{M}{k*M+1}x$ Okre艣lenie zbioru rozwi膮za艅 wi膮偶e si臋 ze znalezieniem mo偶liwych do wstawienia liczb k. Powiedzia艂bym, 偶e przypadek M>0 jest tu najw艂a艣ciwszy, gdy偶 przyjmuje si臋 reszt臋 z dzielenia (a modulo b) dodatni膮. W贸wczas dzielenie modulo 1 mo偶na opisa膰 funkcj膮 int(x), czyli cz臋艣膰 ca艂kowita liczby x. Ka偶d膮 liczb臋 x mo偶na zawrze膰 mi臋dzy kolejnymi liczbami ca艂kowitymi w ten spos贸b aby: $C\le x <C+1$ w贸wczas $[x]=C$ W takim razie $r(x)= x mod 1 =x-[x]$ ale zawsze: $x\ge[x]\Rightarrow r(x)\ge 0$ Rozwa偶amy wi臋c tylko przypadki gdy M>0 1. $ x>y ,y>0 \Rightarrow \frac{x}{y}>1 \Rightarrow k\ge1 $ $x=\frac{k*M+1}{M}y, \space\space k=1,2,3,...$ 2. $x>y \space ,y<0 ,\Rightarrow (k-\frac{1}{M})y>y \Rightarrow k+\frac{1}{M}<1 \Rightarrow k<1-\frac{1}{M} \Rightarrow k\le0$ $x=\frac{k*M+1}{M}y, \space\space k=2,3,4...$ \"y\" obliczamy przy identycznych za艂o偶eniach z drugiego wzoru. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2013-03-14 20:13:54 przez zorro |
zorro post贸w: 106 | 2013-03-14 20:11:09 Co艣 o \"resztach ujemnych\": W tre艣ci zadania napisa艂e艣, 偶e M jest liczb膮 ca艂kowit膮. Gdyby przyj膮膰 M<0, w贸wczas musieliby艣my zmieni膰 konwencj臋 reprezentacji liczb rzeczywistych. W poprzednich rozwa偶aniach brali艣my liczby wymierne z niedomiarem, kt贸re z dowoln膮 dok艂adno艣ci膮 przybli偶a艂y liczby rzeczywiste na zasadzie, 偶e: $[x] \le x < [x]+1$ Cz臋艣膰 ca艂kowita (cecha)jest tu zawsze mniejsza od danej liczby, a reszta (mantysa) dodatnia. Przyjmuj膮c inne za艂o偶enie, mianowicie: $[x] < x \le [x]+1$ Otrzymamy system, w kt贸rym cz臋艣膰 ca艂kowita (cecha) jest zawsze wi臋ksza od danej liczby, za艣 reszta (mantysa) jest UJEMNA. Nie mo偶na jednak miesza膰 tych dw贸ch system贸w mi臋dzy sob膮 bo dla ka偶dego z nich inna jest definicja podzielno艣ci liczb! Dla $b\neq 0$ Klasycznie jest: $\frac{a}{b}=k $ z reszt膮 r>0 $\iff a=b*k+r$ w贸wczas $k=[\frac{a}{b}]$ W drugim systemie by艂oby: $\frac{a}{b}=k $ z reszt膮 r<0 $ \iff a=b*k-|r|$ w贸wczas $k=[\frac{a}{b}]+1$ Wida膰, wi臋c 偶e nie mo偶na zdefiniowa膰 jednoznacznie dzielenia modulo je艣li nie przyjmie si臋 jednej umowy konsekwentnie. (prowadzi to do sprzeczno艣ci gdy偶 $(a) mod (b) = r ,\space \wedge \space (a) mod (b)=-r \Rightarrow r=-r$) Wniosek: Dla M<0 zadanie mo偶na rozwi膮za膰 w identyczny spos贸b jak poprzednio, pami臋taj膮c jednak, 偶e x mod1 oznacza膰 tu b臋dzie $x-([x]+1)<0$ (odmiennie ni偶 przyjmuje si臋 standardowo) W rozwa偶aniu tym chcia艂em tylko pokaza膰, 偶e przyj臋cie innych za艂o偶e艅 prowadzi tak偶e do poprawnych wynik贸w je艣li by膰 konsekwentnym. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj