logowanie

matematyka » forum » zadania » zadanie

Konkursy, zadanie nr 115

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

frantic89
postów: 1
2013-02-27 00:35:17

Witam, pewnie proste ale nie mogę na to wpaść

$\frac{x}{y}$mod1=$\frac{1}{M}$

I tutaj pytanie:
1) Jak obliczyć x gdy znane jest y i M
2) Jak obliczyć y gdy znane jest x i M

Warunki:
-x i y mogą być liczbami rzeczywistymi.
-x > y .
-M jest liczbą całkowitą.

Nie wiem czy to takie proste, czy ja czegoś nie widzę

Z góry WIELKIE DZIĘKI ZA POMOC!!




zorro
postów: 111
2013-03-14 09:56:35

Nie ma jednego rozwiązania, gdyż równanie $\frac{x}{y}mod1=\frac{1}{M}$ opisuje wszystkie ilorazy, których reszta wynosi $\frac{1}{M}$.
Zauważ, że dzielenie ilorazu dwóch liczb przez 1 oznacza właśnie ten iloraz. Dzielenie liczby a mod(b) oznacza resztę z dzielenia a przez b.
Zatem dzielenie mod1 oznacza po prostu tę część wyniku , która jest po przecinku (to właśnie jest reszta z dzielenia przez 1). Część całkowita może być więc dowolna, tylko reszta ma być jak podano ułamkiem wymiernym właściwym.
Innymi słowy aby spełnić wymagania musi być:

$\frac{x}{y}=k+\frac{1}{M}$
gdzie:
$k=0,\pm1,\pm2...$ - liczba całkowita zleżna od x,y,M

Przekształcając tą równość możesz wyliczyć zarówno x jak i y:

$x=\frac{k*M+1}{M}y$
$y=\frac{M}{k*M+1}x$

Określenie zbioru rozwiązań wiąże się ze znalezieniem możliwych do wstawienia liczb k.

Powiedziałbym, że przypadek M>0 jest tu najwłaściwszy, gdyż przyjmuje się resztę z dzielenia (a modulo b) dodatnią.
Wówczas dzielenie modulo 1 można opisać funkcją int(x), czyli część całkowita liczby x. Każdą liczbę x można zawrzeć między kolejnymi liczbami całkowitymi w ten sposób aby:
$C\le x <C+1$
wówczas $[x]=C$

W takim razie
$r(x)= x mod 1 =x-[x]$
ale zawsze:
$x\ge[x]\Rightarrow r(x)\ge 0$

Rozważamy więc tylko przypadki gdy M>0

1. $ x>y ,y>0 \Rightarrow \frac{x}{y}>1 \Rightarrow k\ge1 $
$x=\frac{k*M+1}{M}y, \space\space k=1,2,3,...$
2. $x>y \space ,y<0 ,\Rightarrow (k-\frac{1}{M})y>y \Rightarrow k+\frac{1}{M}<1 \Rightarrow k<1-\frac{1}{M} \Rightarrow k\le0$
$x=\frac{k*M+1}{M}y, \space\space k=2,3,4...$

"y" obliczamy przy identycznych założeniach z drugiego wzoru.






Wiadomość była modyfikowana 2013-03-14 20:13:54 przez zorro

zorro
postów: 111
2013-03-14 20:11:09

Coś o "resztach ujemnych":

W treści zadania napisałeś, że M jest liczbą całkowitą. Gdyby przyjąć M<0, wówczas musielibyśmy zmienić konwencję reprezentacji liczb rzeczywistych. W poprzednich rozważaniach braliśmy liczby wymierne z niedomiarem, które z dowolną dokładnością przybliżały liczby rzeczywiste na zasadzie, że:

$[x] \le x < [x]+1$
Część całkowita (cecha)jest tu zawsze mniejsza od danej liczby, a reszta (mantysa) dodatnia.

Przyjmując inne założenie, mianowicie:
$[x] < x \le [x]+1$
Otrzymamy system, w którym część całkowita (cecha) jest zawsze większa od danej liczby, zaś reszta (mantysa) jest UJEMNA.

Nie można jednak mieszać tych dwóch systemów między sobą bo dla każdego z nich inna jest definicja podzielności liczb!

Dla $b\neq 0$

Klasycznie jest:
$\frac{a}{b}=k $ z resztą r>0 $\iff a=b*k+r$ wówczas $k=[\frac{a}{b}]$

W drugim systemie byłoby:
$\frac{a}{b}=k $ z resztą r<0 $ \iff a=b*k-|r|$ wówczas $k=[\frac{a}{b}]+1$

Widać, więc że nie można zdefiniować jednoznacznie dzielenia modulo jeśli nie przyjmie się jednej umowy konsekwentnie.
(prowadzi to do sprzeczności gdyż $(a) mod (b) = r ,\space \wedge \space (a) mod (b)=-r \Rightarrow r=-r$)

Wniosek:
Dla M<0 zadanie można rozwiązać w identyczny sposób jak poprzednio, pamiętając jednak, że x mod1 oznaczać tu będzie $x-([x]+1)<0$ (odmiennie niż przyjmuje się standardowo)

W rozważaniu tym chciałem tylko pokazać, że przyjęcie innych założeń prowadzi także do poprawnych wyników jeśli być konsekwentnym.






strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 32 drukuj