logowanie

matematyka » forum » zadania » zadanie

Inne, zadanie nr 116

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

pm12
postów: 511
2013-02-27 18:49:49

zbadać liczbę rozwiązań równania

$2^{cosx}$ = m|cosx|

w zależności od parametru m

x$\in$<0,2$\pi$>


zorro
postów: 111
2013-03-07 17:41:32

W podanym przedziale cosx może przybierać wartości <-1,1>.
Wprowadzając pomocniczo u=cosx:
Lewa strona:
$y_{1}=2^{u}$
Prawa:
$y_{2}=m|u|$
Od razu widać, że aby rozwiązanie istniało m>0.
Rozważmy podprzedział $u\in<-1,0)$
Funkcja $y_{1}(-1)=2^{-1}=\frac{1}{2}$
Wykres $y_{2}(u)=-mu$ może więc przeciąć $y_{1}(x) $ w jednym punkcie podprzedziału tylko dla $m\ge\frac{1}{2}$
Gdy $m=\frac{1}{2}$ punktem tym jest $u_{1}=-1$
Gdy $m>\frac{1}{2}$ punkt jest w przedziale $-1<u_{2}<0$
W pierwszym wypadku cosx=-1 tylko dla $x=\pi$
W drugim będą dwa rozwiązania $x=\alpha$ lub $x=2\pi-\alpha$
Teraz rozważmy podprzedział $u\in(0,1>$
Także tutaj wykresy mogą przeciąć się najwyżej w jednym punkcie gdyż w tym przedziale krzywa wykładnicza leży w całości nad linią $y_{2}(u)=2*u$ (można to sprawdzić licząc styczną dla u=1).
Zatem dla m<2 nie ma tu rozwiązań, zaś dla $m\ge2$ jest jeden punkt przecięcia.
Gdy m=2 rozwiązaniem jest u=1 więc cosx=1 czyli $x=0 $ lub $ x=2\pi$
Gdy m>2 rozwiązanie $u\in(0,1)$ więc też mamy dwie wartości x będące rozwiązaniem
$x=\beta $ lub $ x=2\pi-\beta$
Dla u=0 nie ma rozwiązań (równanie sprzeczne).
Podsumowując:
Gdy $m<\frac{1}{2}$ - brak rozwiązań
Gdy $m=\frac{1}{2}$ - jedno rozwiązanie $x=\pi$
Gdy $\frac{1}{2}<m<2$ - dwa rozwiązania
Gdy $m\ge2$ - cztery rozwiązania

Wiadomość była modyfikowana 2013-03-07 17:53:15 przez zorro
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 16 drukuj