logowanie

matematyka » forum » zadania » zadanie

Konkursy, zadanie nr 122

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

Szymon
postów: 647
2013-03-20 22:28:21

4. Punkty K i L dzielą przekątną AC prostokąta ABCD na trzy równe odcinki. Odcinki BK i DL są prostopadłe do przekątnej AC. Oblicz stosunek boków tego prostokąta.

5. W okrąg o średnicy KL wpisano prostokąt ABCD, którego osią symetrii jest prosta KL.
Wiedząc, że odcinek AK ma długość 6dm, a odcinek BK - długość 8 dm, oblicz :
a) długość promienia rozważanego okręgu ;
b) obwód prostokąta ABCD

6. W trójkącie równoramiennym ABC podstawa AB ma długość 6dm, ramiona AC i BC mają długości po 5dm. W trójkącie tym okrąg o średnicy CD, gdzie D jest środkiem podstawy AB przecina ramiona tego trójkąta w punktach E i F. Oblicz pole czworokąta CEDF.

KONKURS MATEMATYCZNY W GIMNAZJUM 2013
Zadania 4-6 na zawody wojewódzkie w województwie opolskim



tumor
postów: 8085
2013-03-21 09:20:02

Konkurs, to znaczy, że jeszcze trwa i oszukujemy, czy już nie trwa i możemy rozwiązywać?


Szymon
postów: 647
2013-03-21 16:34:04

Konkurs odbył się 20 marca 2013 r. w Opolu. Trwał 2,5h.
Można go rozwiązywać.

Wiadomość była modyfikowana 2013-03-21 16:34:32 przez Szymon

tumor
postów: 8085
2013-03-21 20:46:45

4. Dość oczywiste jest, że mamy trójkąty podobne
ABC, AKB, BKC

Oznaczyłem sobie
$BC = a$
$AB = ma$ (gdzie $m$ jest szukaną niewiadomą)
$CK= na$
$BK= mna$ (z podobieństwa)
$AK=2na$

Zapisujemy twierdzenie Pitagorasa dla tych trzech trójkątów.
Wszystkie niewiadome są w kwadratach, dla czytelności piszę
$n^2=N$, $m^2=M$, no i skracam przez $a^2$.

Dostajemy
$1+M=9N$
$4N+NM=M$
$N+NM=1$

Odejmujemy od drugiego trzecie
$3N=M-1$
czyli
$9N=3M-3$
$9N=M+1$
Stąd
$2M=4$
$M=2$
$m=\sqrt{2}$


tumor
postów: 8085
2013-03-21 20:58:37

5. Rysujemy.
(Można się zastanowić, co w przypadku kwadratu, który ma więcej możliwych osi symetrii, ale zastanowienie mówi, że chodzi tak czy inaczej o oś symetrii będącą symetralną AD)

KB=AL oraz trójkąt KAL jest prostokątny. Z Twierdzenia Pitagorasa KL = 10, z pola trójkąta liczymy, że wysokość tego trójkąta to 4,8.

Potem rozpatrujemy trapez równoramienny KLBA, znamy wysokość, znamy ramiona, znamy dłuższą podstawę, z twierdzenia Pitagorasa wyliczamy podstawę krótszą. To powinno być oczywiste, proszę pytać tylko, gdyby nie było. :)




tumor
postów: 8085
2013-03-21 21:05:14

6. Rysujemy.
Połowa podstawy ma długość 3.
Czyli CD ma długość 4 (z tw. Pitagorasa)

Trójkąty ADC i DFC są podobne (kryterium dwóch kątów).
Ze skali podobieństwa (wyliczamy ją dzięki znanym przeciwprostokątnym) otrzymujemy długości wszystkich odcinków trójkąta DFC, co wystarcza do obliczenia jego pola i pola szukanego czworokąta.


irena
postów: 2639
2013-03-21 21:08:51

5.
|AK|=|BL|=6cm
|BK|=8cm

Trójkąt KBL jest prostokątny

$|KL|^2=6^2+8^2=36+64=100$

|KL|=10cm
r=5cm

T- punkt wspólny BC i KL
BT to wysokość w trójkącie KBL

Z pola trójkąta
$\frac{8\cdot6}{2}=\frac{10\cdot\frac{1}{2}|BC|}{2}$

48=5|BC|

|BC|=9,6cm

$|AB|^2=10^2-9,6^2=100-92,16=7,84$

$|AB|=2,8cm$

$Ob=(9,6+2,8)\cdot2=24,8cm$



Szymon
postów: 647
2013-03-21 21:24:51

Dobrze, dziękuję za zainteresowanie zadaniami, ale zamieściłem je tu dlatego, że chcę sprawdzić czy dobrze wszystkie rozwiązałem. Proszę rozwiązujących o napisanie końcowego wyniku który jest szukany. Z góry dziękuję :)))

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 19 drukuj