Konkursy, zadanie nr 13
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
struktor post贸w: 9 |  2011-04-13 13:06:40Na bocznej powierzchni walca o 艣rednicy r , umieszczono (przy kraw臋dzi podstawy) punkt A. Nast臋pnie umieszczono n贸偶k臋 cyrkla w tym punkcie i zakreslono (na bocznej powierzchni walca) krzyw膮, kt贸rej kazdy punkt jest odleg艂y od punktu A o warto艣膰 r . Nast臋pnie rozci臋to boczn膮 powierzchni臋 walca wzd艂u偶 tworz膮cej, le偶膮cej po przeciwleg艂ej stronie walca ni偶 punkt A i rozwini臋to boczn膮 powierzchni臋 walca na p艂aszczy藕nie. Czy otrzymana krzywa jest po艂贸wk膮 sinusoidy ? Odpowied藕 potwierd藕 odpowiednim rachunkiem. Dodam szkic, co powinno u艂atwi膰 rozwi膮zanie. http://www.narval.republika.pl/sinuscyrklem.jpg struktor Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2011-04-14 15:31:16 przez struktor |
struktor post贸w: 9 | 2011-07-06 18:17:55 Podaj臋 rozwi膮zanie. Pomocny b臋dzie ten szkic: http://www.narval.republika.pl/sinuscyrklem.jpg Bierzemy walec i owijamy go dookola kartka papieru tak, by dwie krawedzie kartki byly rownolegle do osi walca i stykaly sie ze soba. Nastepnie ustawiamy rozwarcie cyrkla rowne srednicy walca i wbijamy nozke cyrkla w polowie wygietej krawedzi kartki (w punkcie A na szkicu). Zataczamy cyrklem raz po walcu, rysujac linie na kartce od krawedzi do krawedzi. Po rozwinieciu kartki otrzymamy polowke sinusoidy. Skad wziac walec? No coz, gdy nie mamy pod reka butelki jest okazja by skoczyc do sklepu. Gorzej z cyrklem, bo powinien byc duzy i miec dwie lamane nozki. Teraz skrotowe wyjasnienie teoretyczne. Rownanie okregu jest znane: r^2=x^2 + Y^2 {1} r- rozwarcie cyrkla ; R- promie艅 walca Po rozwinieciu papieru wspolrzedna x (wzdluz osi walca) nie zmieni sie,zmieni sie (wydluzy) wspolrzedna Y , bo cieciwa = Y zostanie zastapiona opartym na niej lukiem = y . Zaleznosc miedzy cieciwa i opartym na niej lukiem o promieniu R: cieciwa=2*R*sin((luk/2)/R) {2} Podstawiamy 2 do 1 i otrzymujemy rownanie ogolne: r^2=x^2 + (2*R*sin(y/(2*R)))^2 {3} Nas jednak interesuje przypadek szczegolny, gdy po rozwinieciu bedzie sinus, dlatego podstawiamy r=2*R i otrzymujemy: 1=(x/r)^2 + ( sin(y/r))^2 {4} Poniewaz sin^2 + cos^2 =1 mamy: x/r = cos(y/r) {5} ymax to pol obwodu walca, czyli ymax=pi*R=pi*r/2 {6a} ymin to pol obwodu walca, czyli ymin=-pi*R=-pi*r/2 {6b} Czyli ostatecznie zakres zmiennej y/r ogranicza nierownosc: -pi/2 < y/r < pi/2 {7} struktor |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj