logowanie

matematyka » forum » zadania » zadanie

Inne, zadanie nr 15

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

jankowalski25
postów: 1
2011-07-01 17:16:20

Udowodnij, że liczba n jest podzielna przez a^{n}, gdy jej n ostatnich cyfr w x - owym układzie liczenia to zera oraz a, n, x \in N


tumor
postów: 8085
2013-01-17 14:01:56

A co tu robi jakiś x? Liczba n ma mieć n cyfr? Bardzo niewiele liczb tak ma, w systemie o dowolnej zresztą podstawie.
:)

Liczba n jest podzielna przez $a^k$ wtedy i tylko wtedy gdy jej $k$ ostatnich cyfr w systemie o podstawie $a$ to zera. :)

Bowiem liczba w systemie o podstawie a to suma $\sum_{i=0}^{\infty}c_ia^i$
gdzie $c_i$ są cyframi i tylko skończona ilość z nich jest różna od 0.

$n=\sum_{i=0}^{\infty}c_ia^i=\sum_{i=0}^{k-1}c_ia^i+\sum_{i=k}^{\infty}c_ia^i$
Przy tym druga z tych sum na końcu jest podzielna przez $a^k$, a pierwsza jest mniejsza niż $a^k$. Skoro $n$ jest podzielne przez $a^k$, to $\sum_{i=0}^{k-1}c_ia^i=0$, co możliwe tylko jeśli wszystkie $c_i=0$, dla $i=0,1,...,k-1$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 56 drukuj