Konkursy, zadanie nr 17
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
lwgula post贸w: 25 |  2011-07-22 03:09:33Niech (1) 3^{2}+4^{2}=5^{2} i (2) 5^{2}+12^{2}=13^{2}. Rozwi膮zaniem r贸wnania (1) jest tr贸jka [3,4,5]. Jest to rozwi膮zanie w艂a艣ciwe, gdy偶 liczby 3,4,5 z rozwi膮zania [3,4,5] s膮 parami wzgl臋dnie pierwsze, co zapisujemy: NWD(3,4,5)=1, czyli NWD(3,4)=1 i NWD(3,5)=1 i NWD(4,5)=1. Rozwi膮zaniem w艂a艣ciwym (2) jest [5,12,13]. Je偶eli obie strony (1) pomno偶ymy przez 5^{2}, a obie strony (2) pomno偶ymy przez 4^{2}, to b臋dziemy mieli (3) 20^{2}=25^{2}-15^{2} oraz (4) 20^{2}=52^{2}-48^{2}. (3) i (4) otrzymamy tak偶e mno偶膮c odpowiednio liczby z [3,4,5] przez 5 i liczby z [5,12,13] przez 4. Nietrudno zauwa偶y膰, 偶e [25,15] i [52,48] s膮 rozwi膮zaniami r贸wnania 400=z^{2}-y^{2}, kt贸rych to rozwi膮za艅 (jak wida膰) nie otrzymujemy od razu z r贸wnania Diofantosa. R贸wnanie Pitagorasa X^{2}+Y^{2}=Z^{2} tak opisa艂 Diofantos liczbami u,v ze zbioru {1,2,3,...}, 偶e X=u^{2}-v^{2}, Y=2uv i Z=u^{2}+v^{2}, bo dla dowolnych u,v ze zbioru R: (5) [u^{2}-v^{2}]^{2}+[2uv]^{2}=[u^{2}+v^{2}]^{2}. Poniewa偶 rozpatrujemy boki X,Y,Z tr贸jk膮ta prostok膮tnego o r贸偶nych przyprostok膮tnych, to wi臋ksze od zera liczby X,Y,Z musz膮 by膰 parami r贸偶ne, co gwarantuj膮 dwa warunki: u,v nale偶膮 do zbioru {1,2,3,...} oraz u>v. Je偶eli chcemy wyznacza膰 rozwi膮zania w艂a艣cie r贸wnania (5), to musz膮 by膰 spe艂nione kolejne dwa warunki: NWD(u,v)=1 i liczba u-v jest nieparzysta (przy u parzystej v nieparzysta, a przy u nieparzystej v parzysta). Zad. Wyznacz rozwi膮zania ca艂kowiete dodatnie r贸wnania: 400=z^{2}-y^{2}. Oto rozwi膮zanie pewnego specjalisty geometrii prof. dr. hab. : 400=20^{2}=(2uv)^{2}. 20=2uv czyli 10=uv. Zatem (u=10 i v=1) lub (u=5 i v=2). St膮d [z=u^{2}+v^{2}=10^{2}+1^{2}=101 i y=u^{2}-v^{2}=10^{2}-1^{2}=99] lub [z=u^{2}+v^{2}=5^{2}+2^{2}=29 i y=u^{2}-v^{2}=5^{2}-2^{2}=21]. A gdzie rozwi膮zania [52,48] i [25,15]? \"NO C脫呕, PROFESOR TE呕 WSZYSTKIEGO NIE WIE\" - tak odpowiedzia艂. Te brakuj膮ce rozwi膮zania daje r贸wnanie Diofantosa, ale trudno艣膰 w tym, 偶e trzeba dodatkowo wyznacza膰 rozwi膮zania w艂a艣ciwe r贸wna艅, kt贸rych od razu nie znamy, tak jak tu (1) i (2). Dzisiaj zdumiewa mnie fakt, 偶e pan profesor nie skorzysta艂 z metody pokazanej przez Stefana Banacha: 400=2*200=4*100=8*50=10*40. Zatem: (z-y=2 i z+y=200) lub (z-y=4 i z+y=100) lub (z-y=8 i z+y=50) lub (z-y=10 i z+y=40). Dlatego (z-y=2 i z+y=200) daje (2z=202 i 2y=198) daje z=101 i y=99. (z-y=4 i z+y=100) daje (2z=104 i 2y=98) daje z=52 i y=48. (z-y=8 i z+y=50) daje (2z=58 i 2y=42) daje z=29 i y=21. (z-y=10 i z+y=40) daje (2z=50 i 2y=30) daje z=25 i y=15. Odp. [101,99], [52,48], [29,21] lub [25,15]. Moje rozwi膮zanie. Wyznaczamy parzyste podzielniki naturalne danej liczby 400, takie, 偶e ilorazy s膮 parzyste oraz podzielniki liczby 400 s膮 mniesze od pierwiatka stopnia drugiego z 400 czyli mniejsze od 20. Oto nasze podzielniki: 2,4,8,10. Dlatego z=(400/2+2)/2 i y=z-2=101-2=99, z=(400/4+4)/2 i y=z-4=52-4=48, z=(400/8+8)/2 i y=z-8=29-8=21, z=(400/10+10)/2 i y=z-10=25-10=15. Odp. [101,99], [52,48], [29,21] lub [25,15]. http://syminostra.pl.tl/ Leszek W. Gu艂a |
struktor post贸w: 9 | 2011-07-22 19:22:05 Szukamy rozwi膮za艅 r贸wnania Diofantosa w liczbach ca艂kowitych. a^2-b^2=400 Lew膮 stron臋 rozk艂adam na iloczyn: (a-b)*(a+b)=400 Podstawiam: m=a-b m*(m+2*b)=400 Przekszta艂cam celem wyliczenia b : b=200/m -m/2 Rozk艂adam na czynniki pierwsze: (1) b=2*2*2*5*5/m -m/2 Wida膰, 偶e m musi si臋 dzieli膰 przez 2 . Ponadto m musi skraca膰 si臋 bez reszty z wyrazem: 2*2*2*5*5 Podaj臋 tabel臋 wynik贸w: b obliczone jest z r贸wnania (1) ; m ; b ; a=m+b 2 ; 99 ; 101 4 ; 48 ; 52 8 ; 21 ; 29 10 ; 15 ; 25 20 ; 0 ; 20 40 ; -15; 25 50 ; -21; 29 100 ; -48; 52 200 ; -99; 101 m ; b ; a=m+b -2 ; -99; -101 -4 ; -48; -52 -8 ; -21; -29 -10 ; -15; -25 -20 ; 0 ; -20 -40 ; 15 ; -25 -50 ; 21 ; -29 -100; 48 ; -52 -200; 99 ; -101 Pozdrawiam WM Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2011-07-22 19:38:56 przez struktor |
lwgula post贸w: 25 | 2011-07-22 21:13:44 W pracy http://lwgula.pl.tl/ kluczowe s膮 formy kwadratowe a^{2}=[(g/k + k)/2]^{2} i b^{2}=[(g/k + k)/2]^{2}. Tu r贸wnie偶 otrzymujemy wszystkie pary [a,b], gdzie a,b s膮 ca艂kowite niezerowe. Je偶eli nieparzysta X jest liczb膮 pierwsz膮, to zdanie odd g=X^{4}=Z^{2}-[(Y^{2}]^{2} jest fa艂szywe, gdy偶 mamy sprzeczno艣膰: X dzieli Z i X dzieli Y, przy gcd(X,Y,Z)=1. Tak wi臋c \"kluczowe s膮\" - tylko w sensie wizualnym (odczytowym), poszukiwawczym. St膮d wiemy, 偶e X musi by膰 liczb膮 nieparzyst膮 z艂o偶on膮. Dow贸d Hilberta jest obalony. Poda艂em przepi臋kny dow贸d tego twierdzenia. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj