logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - zadania różne » zadanie

Inne, zadanie nr 205

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

hans505
postów: 1
2015-07-15 14:06:51

Cześć, mam dość nietypowy (?) problem. Czy mógłby mi ktoś wyjaśnić dwa ostatnie kroki z: http://www.math.uni.wroc.pl/~wojak/rp/SplotNormalnych.pdf

Chodzi o splot dwóch funkcji normalnego rozkładu X,Y $\sim$ N(0,1), co ma dać Z$\sim$ N(0,2)

W przedostatnim kroku wyszło mi, że dx=$\frac{-1}{\sqrt{2}}$dw i rozumiem, że autor dąży do tego aby wskazać, że całka po prawej jako funkcja normalnego rozkładu=1, ale co się stało z tym minusem u niego?

Proszę bardzo o pomoc!


janusz78
postów: 820
2015-07-15 23:04:30

Z definicji splotu dwóch funkcji gęstości zmiennych losowych o standaryzowanym rozkładzie normalnym.

$f_{Z}(z)= \int_{R}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(z-x)^2}{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx.$

$f_{Z}(z)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{R}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2-2zx +x^2}{2}}dx.$

$f_{Z}(z)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{4}}\int_{R}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(z-2x)^2}{4}}dx.$

Podstawienia

$ t = \frac{(z-2x)}{\sqrt{2}}, \frac{dx}{dt}=-\frac{1}{\sqrt{2}}.$


$ f_{Z}(z)= \frac{1}{\sqrt{4\pi}}e^{-\frac{z^2}{4}}\int_{R}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt = \frac{1}{\sqrt{4\pi}}e^{-\frac{z^2}{4}}\cdot 1=\frac{1}{\sqrt{4\pi}}e^{-\frac{z^2}{4}} .$

$ Z\sim N(0, \sqrt{2}).$

Minus zniknął bo wstawiamy wartość bezwzględną tego podstawienia.

Wiadomość była modyfikowana 2015-07-15 23:48:09 przez janusz78

janusz78
postów: 820
2015-07-16 09:07:53

Drugi sposób w oparciu o funkcje tworzące

$X \sim N(0,1).$

$Y\sim N(0,1).$

$Z =X* Y = M_{X}(t)\cdot M_{Y}(t)= e^{\frac{t^2}{2}}\cdot e^{\frac{t^2}{2}}= e^{\frac{2t^2}{2}}= e^{\frac{(\sqrt{2}t)^2}{2}}.$

$ Z\sim N(0, \sqrt{2}).$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj