Inne, zadanie nr 225

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
panrafal postów: 174	2016-01-24 07:30:08 Interesuje mnie taki oto paradoks rachunku prawdopodobieństwa. Powiedzmy, że rzucamy monetą. Prawdopodobieństwo, że wyrzucimy milion razy orła pod rząd jest skrajnie małe. Ale powiedzmy, że wyrzuciliśmy go już 999 999 razy i teraz rzucamy milionowy raz. Z jednej strony szansa, że wyrzucimy kolejny raz orła wydaje się skrajnie mała, bo już od 999 999 rzutów nie było reszki. Z drugiej strony, przecież każdy rzut jest niezależny od poprzednich rzutów i założenie, że poprzednie rzuty wpływają na obecny implikowałoby istnienie jakiejś magicznej siły, która rejestruje wszystkie zdarzenia i na ich podstawie wpływa na przebieg teraźniejszości. Jednakże jestem niemal pewien, że w liceum uczono mnie, że należy właśnie tak rozumować, że przy każdej kolejnej próbie prawdopodobieństwo się zmienia. Jak się do tego problemu ustosunkowuje współczesna matematyka?

janusz78 postów: 820	2016-01-24 16:28:24 Rachunek prawdopodobieństwa modeluje zdarzenia losowe charakteryzujące się stabilnością częstości. W Twoim przykładzie $\lim_{n\to \infty}\nu_{n}=\frac{1}{2}.$

tumor postów: 8070	2016-01-25 10:34:07 Zdarzenie niezależne od innych jest niezależne. :) Jeśli obserwujesz losowanie lotto i wypadnie 3, to masz pewność (prawdopodobieństwo 1), że drugi raz w tym samym losowaniu nie będzie 3, bo drugiej kuli z tym numerem nie ma. Jednocześnie rośnie szansa, że następnym numerem będzie 5 (bo losujemy z mniejszej ilości kul), natomiast maleje szansa, że 5 w ogóle się w tym losowaniu pojawi (bo mamy mniej miejsc do obsadzenia). W przypadku lotto pewne zdarzenia wpływają na przebieg innych. Natomiast losowanie monetą nie jest zależne od poprzednich wyników na tej monecie. Nieprawdopodobna jest seria reszek, natomiast orzeł po DOWOLNEJ serii jest tak samo prawdopodobny. Intuicja myli te dwa prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo całej serii (na to szanse były niskie przed początkiem rzucania), z prawdopodobieństwem pojedynczego wyniku. No i weź jeszcze pod uwagę jedną rzecz. Wynik oooooooooo w dziesięciokrotnym rzucie monetą jest tak samo prawdopodobny jak oroorororr albo ooroorooro albo dowolna inna określona seria. Każda z góry określona seria 999999 wyników jest bardzo nieprawdopodobna (konkretnie jak $\frac{1}{2^{999999}}$), nie ma to jednak wpływu na rzut milionowy. --- Patrząc z perspektywy matematyki wyższej, prawdopodobieństwo to pewna miara unormowana, czyli pewien sposób mierzenia "wielkości" zbioru, gdzie wynik zawsze trafi w przedział [0;1], a jeszcze do tego spełnionych jest kilka dodatkowych warunków czyniących zadość naszej intuicji. Możemy rozważać prawdopodobieństwo warunkowe, czyli pewną miarę na podzbiorze zbioru wyjściowego, związaną z miarą wyjściową. Niezależność zdarzeń określona jest warunkiem: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$ i intuicyjnie rozumiemy ją jako (właśnie) niezależność prawdopodobieństwa zdarzenia A od pewnego postawionego warunku, czyli jako identyczną miarę zbioru A w przestrzeni X z miarą zbioru $A\cap B$ w przestrzeni B. Prawdopodobieństwo miliona orłów to $\frac{1}{2^{1000000}}$, prawdopodobieństwo 999999 orłów to $\frac{1}{2^{999999}}$, a prawdopodobieństwo jednego to $\frac{1}{2}$. Pasuje, nie? :)

panrafal postów: 174	2016-01-25 16:34:04 Ok, dzięki.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj