logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - zadania różne » zadanie

Inne, zadanie nr 226

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

k_fuzzy
postów: 5
2016-02-02 13:30:28

Witam,

Mam zagwostkę natury geometrycznej.

Jak obliczyć pole sześciokąta nieforemnego.
Wszystkie naprzeciwległe boki są równoległe,
jedna para boków o długości A a pozostałe cztery boki o długości B.
Nie wiemy ile wynoszą długości boków,
nie znamy miar żadnych kątów a jedyne co znamy to odległości naprzeciwległych boków od siebie (nazwijmy je A i B (dwie odległości będą takie same)).

Czekam na propozycje odpowiedzi.


tumor
postów: 8070
2016-02-02 13:36:42

Edit:
Przepraszam, za pierwszym razem niedokładnie czytałem treść.

Czy A i B to długości boków, czy odległości między bokami leżącymi naprzeciw siebie?

Wiadomość była modyfikowana 2016-02-02 16:39:20 przez tumor

k_fuzzy
postów: 5
2016-02-02 14:42:46

hmmm... ale my nie znamy ani długości boku, ani kąta...


k_fuzzy
postów: 5
2016-02-02 19:45:36

Moja wina! Nazwałem zarówno boki jak i odległości między bokami tymi samymi literami.

No więc niech długości boków nazywają się A i B - i nie są nam one znane.

Odległości pomiędzy naprzeciwległymi bokami zawijmy X i Y. I te wartości znamy.

Czy jesteśmy w stanie obliczyć pole takiego sześciokąta?



k_fuzzy
postów: 5
2016-02-03 11:13:56

Dla rozjaśnienie przesyłam rysunek.
X i Y - znane,
A i B - nie znane





tumor
postów: 8070
2016-02-03 12:21:52

Okejka, tu możemy coś powiedzieć.

Narysuj sobie okrąg o średnicy Y, a także dwie równoległe proste k,l (sugeruję - poziome) odległe od środka okręgu o $\frac{X}{2}$, czyli wzajemnie od siebie o X.
Niech $X>Y*\sqrt{2}$, tak dla większej oczywistości.

Teraz zrób dwie figury. Jedna to będzie romb opisany na okręgu, którego dwa wierzchołki umieść na prostych k,l.

Druga figura to prostokąt, którego dwa boki leżą na prostych k,l, a dwa są styczne do okręgu.

Pola tych figur to dla rombu: $Xasin\alpha$, gdzie $a$ jest bokiem rombu, natomiast $\alpha$ jest kątem między przekątną X i bokiem a, dla prostokąta XY.
Równe będą tylko, gdy $Y=a\sin\alpha$. Zauważmy jednak, że krótsza przekątna rombu, oznaczmy ją $Z$, jest krótsza niż $Y\sqrt{2}$, wobec tego $sin\alpha=\frac{\frac{1}{2}Z}{a}<\frac{\frac{1}{2}Y\sqrt{2}}{a}<\frac{Y}{a}$, wobec tego pole rombu jest w tej sytuacji mniejsze niż pole prostokąta.

A teraz wróćmy do naszych sześciokątów. Możemy znaleźć sześciokąt o dowolnym polu między polami rombu i prostokąta, ponieważ przekształcalibyśmy te figury w sposób ciągły. Skoro zatem przy zadanym X i Y mogą istnieć sześciokąty o różnych polach, to zadanie rozwiązania jednoznacznego mieć nie będzie.

Wprowadziłem tu dodatkowe warunki, np $X>Y\sqrt{2}$, żeby skorzystać z prostszych przekształceń. Przy pewnych danych pole prostokąta i rombu będą identyczne, co zmieni nieco konstrukcję wywodu. W ogólności jednak zadanie to rozwiązania nie ma i potrzeba dodatkowych danych.


----

Inaczej to samo rozumowanie: Narysuj ćwierć okręgu o promieniu Y/2 oraz trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne pokrywają się z ramionami naszego wycinka koła, a przeciwprostokątna jest styczna do łuku.
Niech $\alpha$ będzie kątem między promieniem opadającym na punkt styczności a wybraną przyprostokątną. Na jednej z przyprostokątnych odłóż odcinek X/2.
Znając $\alpha$ możemy wyznaczyć dowolne odcinki w trójkącie, możemy zatem wyznaczyć też pole trapezu, który zostanie przed odcięcie tego, co wystaje poza nasze X/2. Ten trapez jest ćwiartką opisanego w zadaniu sześciokąta.

Można pokazać, że pole trapezu zależy od wyboru kąta $\alpha$, czyli dane z zadania są niewystarczające dla podania pola sześciokąta.

Wiadomość była modyfikowana 2016-02-03 12:24:08 przez tumor

k_fuzzy
postów: 5
2016-02-03 13:56:06

Dzięki bardzo za pomoc!

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj