logowanie

matematyka » forum » zadania » zadanie

Zadania tekstowe, zadanie nr 240

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

gregory
postów: 5
2016-05-17 12:16:41

Jak sprawdzić czy z podanych wymiarów da się zbudować czworokąt.
Podane są długości boków: ab, bc, cd, da .
Oraz długości dwóch przekątnych: ac, bd .
Długości te mogą być prawidłowe lub nie.
Zadanie ma wykazać czy podane długości są prawidłowe, czyli że można na ich podstawie zbudować czworokąt.
Utrudnieniem jest to, że wszystkie dane (długości boków oraz obie przekątne) muszą być użyte w obliczeniach.


tumor
postów: 8085
2016-05-17 13:12:08

0) warunki trójkąta

Na pewno $ab,bc,ac$ muszą tworzyć trójkąt, prawda? Więc sprawdzamy dla nich warunek trójkąta (najdłuższy bok musi być krótszy niż suma pozostałych.
Podobnie z pozostałymi długościami - gdy jakieś mają tworzyć trójkąt, sprawdzamy dla nich warunek trójkąta

1) można użyć wzoru Herona.
Zauważmy, że jeśli $ab,bc,ac$ spełniają warunek trójkąta oraz cd,ad,ac spełniają warunek trójkąta, to da się czworokąt stworzyć z pominięciem wymogu odległości $bd$.
Możemy ze wzoru Herona policzyć oddzielnie pola trójkątów i dodać je.

Z drugiej strony to samo pole liczymy ze wzoru Bretschneidera

$\frac{1}{4}\sqrt{ 4(ac)^2(bd)^2-((ab)^2+(cd)^2-(bc)^2-(ad)^2)^2 }$

No i albo wyjdzie jak wcześniej, albo nie.

2) można też z tw. cosinusów.

Jak poprzednio, o ile odpowiednie warunki trójkąta zachodzą dla $ab,bc,ac$ oraz $cd,ad,ac$, to czworokąt istnieje, ale niepewna jest odległość $bd$. Znając boki możemy policzyć cosinusy kątów przy wierzchołku $a$ w trójkątach $abc$ i $adc$. Znając te cosinusy możemy znaleźć cosinus sumy, czyli kąta przy $a$ w trójkącie $abd$. Znów z tw. cosinusów wyznaczamy $bd$ i porównujemy z wartością $bd$ znaną uprzednio. Albo jest identyczna albo nie.

3) W układzie kartezjańskim. Współrzędne A to (0,0), B to (ab,0), współrzędne C, D wyznaczamy z odpowiednich równań, którąś (niewykorzystaną) wielkość liczymy na samym końcu i sprawdzamy, czy zgadza się z danymi z zadania


----

Polecam pisać wierzchołki dużymi literami, a małe litery zachować na oznaczenie długości odcinków.



gregory
postów: 5
2016-05-17 14:07:18

Obliczałem to korzystając z wzoru herona. Najpierw obliczałem przy trójkątach stworzonych poprzez przekątną ac, a następnie przez przekątną bd. Sumy pól trójkątów przy podziale ac, oraz podziale bd powinny być równe. Ale pomimo tego że że są równe, nie oznacza to jeszcze że da się zbudować czworokąt, bo można by podstawić za długie przekątne (np. obie tej samej długości)i też będzie ok.
Tyle że czworokąta nie zbudujemy..
Pomyślałem więc że przekątną potraktuję jako przeciwprostokątną i jeżeli jedna z przekątnych będzie ileś % dłuższa niżby to wynikało z wzoru Pitagorasa (czyli nie jest to prostokąt), wówczas ta druga powinna być o tyle samo % krótsza.
Nie wiem czy dobrze myślę.


tumor
postów: 8085
2016-05-17 14:21:48

Masz trzy sposoby wyżej.

Nigdzie nie pisałem, że wystarczy wzór Herona dla dwóch par trójkątów, bo nie wystarczy.

Sposób z tw. Pitagorasa jest dla mnie niejasny zupełnie.

Z odcinków 1,1,100,100 da się stworzyć czworokąt z krótszą przekątną $\sqrt{2}$.
Jeśli na to spojrzymy od strony trójkąt $1,1,\sqrt{2}$, to działa twierdzenie Pitagorasa i nic nie trzeba skracać ani wydłużać. A gdybyśmy spojrzeli na trójkąt $100, 100, \sqrt{2}$, to raczej nie jest prostokątny. Zatem przekątna równa $\sqrt{2}$ jest za krótka czy nie jest w tym Twoim sposobie?

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 27 drukuj