Konkursy, zadanie nr 261
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
nauczycielka post贸w: 4 |  2017-02-16 17:27:47$$$$ Czworok膮t ABCD jest wpisany w okrag, a liczby a, b, c, x wyznaczaj膮 proporcj臋 miar k膮t贸w tego czworok膮ta w taki spos贸b 偶e $\angle A:\angle B:\angle C:\angle D$ = a:b:c:d. a, b, c sa liczbami naturalnymi. Jakie warunki powoduj膮 偶e miary k膮t贸w s膮 ca艂kowite? Ile proporcji mo偶na u艂o偶y膰? Pomo偶ecie? |
tumor post贸w: 8070 | 2017-02-16 20:50:22 Czworok膮t da si臋 wpisa膰 w okr膮g, gdy suma przeciwleg艂ych k膮t贸w jest 180 stopni. Nadto zadanie nie m贸wi, 偶e miary k膮t贸w maj膮 si臋 wyra偶a膰 liczbami naturalnymi, ale 偶e maj膮 by膰 w proporcji jak liczby naturalne. Dla przyk艂adu 3,5:2,5:1,5:1 ma si臋 jak 7:5:3:2, prawda? Poza tym raz jest jaki艣 x, raz jakie艣 d. |
nauczycielka post贸w: 4 | 2017-02-16 23:06:26 Miary k膮t贸w maja byc ca艂kowite. Pomyli艂am si臋, zamiast d ma byc x. To 偶e da si臋 wpisa膰 jesli sumy miar przeciwleg艂ych maj膮 byc 180 to wiadomo, ale jakie warunki trzeba narzucic na te liczby naturalne (proporcje) aby wynika艂y z nich ca艂kowite k膮ty w czworok膮cie... |
tumor post贸w: 8070 | 2017-02-16 23:21:24 Niezupe艂nie wiem, o co Ci chodzi. Je艣li masz miary k膮t贸w przy A i B (wybrane niezale偶nie), to C i D s膮 ju偶 zdeterminowane. Mo偶emy zatem rozumie膰 proporcj臋 a:b:c:x jako proporcj臋 mi臋dzy tymi samymi liczbami co $\angle A: \angle B:\angle C: \angle D$. Niekiedy da si臋 liczby a,b,c,x skr贸ci膰, w贸wczas dostajemy t臋 sam膮 proporcj臋 inaczej zapisan膮, W贸wczas a+c=b+x oraz a+c|180. |
nauczycielka post贸w: 4 | 2017-02-17 14:26:04 Dok艂adnie takie zadanie, przepisa艂am tre艣膰 s艂owo w s艂owo dosta艂am do rozwi膮zania na studiach. Nic nie wymy艣li艂am. Nie chodzi o to 偶eby zada膰 k膮ty, w zadaniu jest napisane 偶eby zada膰 proporcje (liczby naturalne) a znich maj膮 nam wyj艣c k膮ty. Pytanie brzmi jak dobra膰 te proporcje (jakie warunki na nie na艂o偶y膰) aby k膮ty by艂y ca艂kowite z wzi臋ciem pod uwage 偶e maj膮 tworzy膰 czworok膮t wpisany w okr膮g |
panrafal post贸w: 174 | 2017-02-18 19:49:30 Wpierw zauwa偶my, 偶e z podanych proporcji wynika r贸wnie偶, 偶e $\angle A:\angle C=a:c$ to samo mo偶na zrobi膰 z B i D. Znajd藕my warunek konieczny, aby k膮ty A i C by艂y ca艂kowite: skoro $\frac{\angle A}{\angle C}=\frac{a}{c}$ to $\frac{\angle A * c}{\angle C * a}=1$ Wynika st膮d,偶e k膮t A dzieli si臋 przez a, k膮t C dzieli si臋 przez c i ilorazy te daj膮 ten sam wynik. Innymi s艂owy: $\angle A=a*x$ $\angle C=c*x$ gdzie x to jaka艣 liczba naturalna Jako, 偶e czworok膮t da si臋 wpisa膰 w okr膮g to mo偶emy u艂o偶y膰 r贸wnanie: $x(a+c)=180$ Zatem a+c jest dzielnikiem 180, to jest warunek konieczny. Czy jest te偶 warunkiem dostatecznym? Zauwa偶, 偶e wcze艣niejsze rozumowanie mo偶emy przeprowadzi膰 r贸wnie偶 dla nieca艂kowitych k膮t贸w, po prostu wtedy x nie b臋dzie liczb膮 naturaln膮. Jednak偶e warunek podzielno艣ci 180 przez a+c sprawia, 偶e x jest naturalny, a zatem k膮ty te偶 wyra偶aj膮 si臋 liczbami naturalnymi. Czyli jest to te偶 warunek dostateczny. To samo rozumowanie mo偶emy przeprowadzi膰 dla k膮t贸w B i D. Teraz pytanie ile b臋dzie mo偶liwych proporcji. X jest wsp贸lny dla wszystkich k膮t贸w, wi臋c trzeba po prostu sprawdzi膰 ile dzielnik贸w ma 180, bior膮c pod uwag臋, 偶e a+c=b+d, czyli trzeba b臋dzie jeszcze przemno偶y膰 przez liczb臋 tych sum. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2017-02-18 19:53:17 przez panrafal |
nauczycielka post贸w: 4 | 2017-02-21 18:26:20 Super, dosz艂am do podobnych wniosk贸w tylko nie sformu艂owa艂am ich tak 艂adnie jak ty. Teraz utwierdzi艂am si臋, 偶e chyba o to w艂a艣nie chodzi艂o. Dzi臋ki wielkie za pomoc! |
panrafal post贸w: 174 | 2017-02-22 13:03:47 Nie ma sprawy :) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj