logowanie

matematyka » forum » zadania » zadanie

Konkursy, zadanie nr 261

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

nauczycielka
postów: 4
2017-02-16 17:27:47

$$$$ Czworokąt ABCD jest wpisany w okrag, a liczby a, b, c, x wyznaczają proporcję miar kątów tego czworokąta w taki sposób że $\angle A:\angle B:\angle C:\angle D$ = a:b:c:d. a, b, c sa liczbami naturalnymi.

Jakie warunki powodują że miary kątów są całkowite?
Ile proporcji można ułożyć?

Pomożecie?


tumor
postów: 8085
2017-02-16 20:50:22

Czworokąt da się wpisać w okrąg, gdy suma przeciwległych kątów jest 180 stopni.
Nadto zadanie nie mówi, że miary kątów mają się wyrażać liczbami naturalnymi, ale że mają być w proporcji jak liczby naturalne. Dla przykładu

3,5:2,5:1,5:1 ma się jak 7:5:3:2, prawda?

Poza tym raz jest jakiś x, raz jakieś d.


nauczycielka
postów: 4
2017-02-16 23:06:26

Miary kątów maja byc całkowite.
Pomyliłam się, zamiast d ma byc x.
To że da się wpisać jesli sumy miar przeciwległych mają byc 180 to wiadomo, ale jakie warunki trzeba narzucic na te liczby naturalne (proporcje) aby wynikały z nich całkowite kąty w czworokącie...


tumor
postów: 8085
2017-02-16 23:21:24

Niezupełnie wiem, o co Ci chodzi. Jeśli masz miary kątów przy A i B (wybrane niezależnie), to C i D są już zdeterminowane.
Możemy zatem rozumieć proporcję a:b:c:x jako proporcję między tymi samymi liczbami co $\angle A: \angle B:\angle C: \angle D$.

Niekiedy da się liczby a,b,c,x skrócić, wówczas dostajemy tę samą proporcję inaczej zapisaną, Wówczas a+c=b+x oraz a+c|180.


nauczycielka
postów: 4
2017-02-17 14:26:04

Dokładnie takie zadanie, przepisałam treść słowo w słowo dostałam do rozwiązania na studiach. Nic nie wymyśliłam.

Nie chodzi o to żeby zadać kąty, w zadaniu jest napisane żeby zadać proporcje (liczby naturalne) a znich mają nam wyjśc kąty. Pytanie brzmi jak dobrać te proporcje (jakie warunki na nie nałożyć) aby kąty były całkowite z wzięciem pod uwage że mają tworzyć czworokąt wpisany w okrąg


panrafal
postów: 177
2017-02-18 19:49:30

Wpierw zauważmy, że z podanych proporcji wynika również, że
$\angle A:\angle C=a:c$ to samo można zrobić z B i D.
Znajdźmy warunek konieczny, aby kąty A i C były całkowite:
skoro $\frac{\angle A}{\angle C}=\frac{a}{c}$
to $\frac{\angle A * c}{\angle C * a}=1$

Wynika stąd,że kąt A dzieli się przez a, kąt C dzieli się przez c i ilorazy te dają ten sam wynik. Innymi słowy:
$\angle A=a*x$
$\angle C=c*x$ gdzie x to jakaś liczba naturalna
Jako, że czworokąt da się wpisać w okrąg to możemy ułożyć równanie:
$x(a+c)=180$
Zatem a+c jest dzielnikiem 180, to jest warunek konieczny. Czy jest też warunkiem dostatecznym? Zauważ, że wcześniejsze rozumowanie możemy przeprowadzić również dla niecałkowitych kątów, po prostu wtedy x nie będzie liczbą naturalną. Jednakże warunek podzielności 180 przez a+c sprawia, że x jest naturalny, a zatem kąty też wyrażają się liczbami naturalnymi. Czyli jest to też warunek dostateczny. To samo rozumowanie możemy przeprowadzić dla kątów B i D.
Teraz pytanie ile będzie możliwych proporcji. X jest wspólny dla wszystkich kątów, więc trzeba po prostu sprawdzić ile dzielników ma 180, biorąc pod uwagę, że a+c=b+d, czyli trzeba będzie jeszcze przemnożyć przez liczbę tych sum.

Wiadomość była modyfikowana 2017-02-18 19:53:17 przez panrafal

nauczycielka
postów: 4
2017-02-21 18:26:20

Super, doszłam do podobnych wniosków tylko nie sformułowałam ich tak ładnie jak ty. Teraz utwierdziłam się, że chyba o to właśnie chodziło. Dzięki wielkie za pomoc!


panrafal
postów: 177
2017-02-22 13:03:47

Nie ma sprawy :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 17 drukuj