logowanie

matematyka » forum » zadania » zadanie

Konkursy, zadanie nr 279

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

ik99
postów: 7
2018-07-09 13:25:34

Witam! Mam znów problem, tym razem w temacie szeregów liczbowych.

Należy zbadać zbieżność szeregów:

1) \sum_{x=1}^{\infty} [(x^{3} + x)^{1/3} - (x^{3} - x)^{1/3}]
ODP: szereg rozbieżny

2) \sum_{x=1}^{\infty} [(x^{3} + 4)^{1/3} - x]
ODP: szereg zbieżny

Czy ktoś mógłby mi wyjaśnić, dlaczego te szeregi są takie a nie inne? Bo według mnie obydwa są rozbieżne :/ Proszę o pomoc


tumor
postów: 8085
2018-07-09 16:56:03

1)

$(\sqrt[3]{x^3+x}-\sqrt[3]{x^3-x})\cdot \frac{\sqrt[3]{(x^3+x)^2}+\sqrt[3]{(x^3+x)(x^3-x)}+\sqrt[3]{(x^3-x)^2}}{\sqrt[3]{(x^3+x)^2}+\sqrt[3]{(x^3+x)(x^3-x)}+\sqrt[3]{(x^3-x)^2}}=\frac{2x}{\sqrt[3]{(x^3+x)^2}+\sqrt[3]{(x^3+x)(x^3-x)}+\sqrt[3]{(x^3-x)^2}}$

Kryterium porównawcze z szeregiem $\sum \frac{1}{n}$ da rozbieżność

2) $(\sqrt[3]{x^3+4}-\sqrt[3]{x^3})\cdot \frac{\sqrt[3]{(x^3+4)^2}+\sqrt[3]{x^3(x^3+4)}+\sqrt[3]{x^6}}{\sqrt[3]{(x^3+4)^2}+\sqrt[3]{x^3(x^3+4)}+\sqrt[3]{x^6}}=\frac{4}{\sqrt[3]{(x^3+4)^2}+\sqrt[3]{x^3(x^3+4)}+\sqrt[3]{x^6}}$

Kryterium porównawcze z szeregiem $\sum \frac{1}{n^2}$ da zbieżność


ik99
postów: 7
2018-07-09 18:11:08

Dziękuję za pomoc :)


ik99
postów: 7
2018-07-09 22:23:07

Chyba dalej czegoś nie rozumiem... Zamieszczam dwa kolejne przykłady, próbowałam robić jak wyżej, ale znowu wychodzi nie to o ma wyjść

1) \sum_{x=1}^{\infty} 1/[x((x^{2} + x)^{1/2} - x)]
ODP: szereg rozbieżny

2) \sum_{x=1}^{\infty} 1/[x((x^{2} + x^{3/2})^{1/2} - x)]
ODP: szereg zbieżny

Bardzo proszę o pomoc :)


tumor
postów: 8085
2018-08-24 10:00:50

Ogólnie dowodzi się twierdzenia, że szereg $\sum\frac{1}{n^\alpha}$ jest rozbieżny dla $\alpha\in [0,1]$, zbieżny dla $\alpha>1$.
Szeregi te są wygodne do kryterium porównawczego.

$\frac{1}{x((x^{2} + x)^{1/2} - x)}=
\frac{1}{x((x^{2} + x)^{1/2} - x)}*\frac{(x^{2} + x)^{1/2} + x}{(x^{2} + x)^{1/2} + x}=
\frac{(x^{2} + x)^{1/2} + x}{x^2}=\frac{x(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1)}{x^2}=\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}{x}$

taki ciąg zachowuje się jak $\frac{2}{x}$, rozbieżny

obliczając dokładnie analogicznie w drugim przykładzie dostajemy

$\frac{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}+1}{x^\frac{3}{2}}$
porównywalny z $\frac{2}{x^\frac{3}{2}}$, który jest oczywiście zbieżny

---

Teraz nieco o kryterium porównawczym.
Może znasz wersję taką: jeśli $|a_n|<|b_n|$ i $\sum b_n$ zbieżny, to $\sum a_n$ zbieżny (i odpowiednio dla rozbieżności).

Polecam jednak przemyśleć też stosowanie innej. Poniżej zakładamy niezerowanie się mianownika:
jeśli granica $\frac{a_n}{b_n}$ jest skończona niezerowa (równocześnie jest niezerowa skończona granica $\frac{b_n}{a_n})$, to $\sum a_n, \sum b_n$ są oba zbieżne lub oba rozbieżne.
(Można jeszcze dopisać dalszą część twierdzenia, ale nie jest ona potrzebna w tej chwili).


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 13 drukuj