Konkursy, zadanie nr 279
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
ik99 post贸w: 7 |  2018-07-09 13:25:34Witam! Mam zn贸w problem, tym razem w temacie szereg贸w liczbowych. Nale偶y zbada膰 zbie偶no艣膰 szereg贸w: 1) \sum_{x=1}^{\infty} [(x^{3} + x)^{1/3} - (x^{3} - x)^{1/3}] ODP: szereg rozbie偶ny 2) \sum_{x=1}^{\infty} [(x^{3} + 4)^{1/3} - x] ODP: szereg zbie偶ny Czy kto艣 m贸g艂by mi wyja艣ni膰, dlaczego te szeregi s膮 takie a nie inne? Bo wed艂ug mnie obydwa s膮 rozbie偶ne :/ Prosz臋 o pomoc |
tumor post贸w: 8070 | 2018-07-09 16:56:03 1) $(\sqrt[3]{x^3+x}-\sqrt[3]{x^3-x})\cdot \frac{\sqrt[3]{(x^3+x)^2}+\sqrt[3]{(x^3+x)(x^3-x)}+\sqrt[3]{(x^3-x)^2}}{\sqrt[3]{(x^3+x)^2}+\sqrt[3]{(x^3+x)(x^3-x)}+\sqrt[3]{(x^3-x)^2}}=\frac{2x}{\sqrt[3]{(x^3+x)^2}+\sqrt[3]{(x^3+x)(x^3-x)}+\sqrt[3]{(x^3-x)^2}}$ Kryterium por贸wnawcze z szeregiem $\sum \frac{1}{n}$ da rozbie偶no艣膰 2) $(\sqrt[3]{x^3+4}-\sqrt[3]{x^3})\cdot \frac{\sqrt[3]{(x^3+4)^2}+\sqrt[3]{x^3(x^3+4)}+\sqrt[3]{x^6}}{\sqrt[3]{(x^3+4)^2}+\sqrt[3]{x^3(x^3+4)}+\sqrt[3]{x^6}}=\frac{4}{\sqrt[3]{(x^3+4)^2}+\sqrt[3]{x^3(x^3+4)}+\sqrt[3]{x^6}}$ Kryterium por贸wnawcze z szeregiem $\sum \frac{1}{n^2}$ da zbie偶no艣膰 |
ik99 post贸w: 7 | 2018-07-09 18:11:08 Dzi臋kuj臋 za pomoc :) |
ik99 post贸w: 7 | 2018-07-09 22:23:07 Chyba dalej czego艣 nie rozumiem... Zamieszczam dwa kolejne przyk艂ady, pr贸bowa艂am robi膰 jak wy偶ej, ale znowu wychodzi nie to o ma wyj艣膰 1) \sum_{x=1}^{\infty} 1/[x((x^{2} + x)^{1/2} - x)] ODP: szereg rozbie偶ny 2) \sum_{x=1}^{\infty} 1/[x((x^{2} + x^{3/2})^{1/2} - x)] ODP: szereg zbie偶ny Bardzo prosz臋 o pomoc :) |
tumor post贸w: 8070 | 2018-08-24 10:00:50 Og贸lnie dowodzi si臋 twierdzenia, 偶e szereg $\sum\frac{1}{n^\alpha}$ jest rozbie偶ny dla $\alpha\in [0,1]$, zbie偶ny dla $\alpha>1$. Szeregi te s膮 wygodne do kryterium por贸wnawczego. $\frac{1}{x((x^{2} + x)^{1/2} - x)}= \frac{1}{x((x^{2} + x)^{1/2} - x)}*\frac{(x^{2} + x)^{1/2} + x}{(x^{2} + x)^{1/2} + x}= \frac{(x^{2} + x)^{1/2} + x}{x^2}=\frac{x(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1)}{x^2}=\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}{x}$ taki ci膮g zachowuje si臋 jak $\frac{2}{x}$, rozbie偶ny obliczaj膮c dok艂adnie analogicznie w drugim przyk艂adzie dostajemy $\frac{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}+1}{x^\frac{3}{2}}$ por贸wnywalny z $\frac{2}{x^\frac{3}{2}}$, kt贸ry jest oczywi艣cie zbie偶ny --- Teraz nieco o kryterium por贸wnawczym. Mo偶e znasz wersj臋 tak膮: je艣li $|a_n|<|b_n|$ i $\sum b_n$ zbie偶ny, to $\sum a_n$ zbie偶ny (i odpowiednio dla rozbie偶no艣ci). Polecam jednak przemy艣le膰 te偶 stosowanie innej. Poni偶ej zak艂adamy niezerowanie si臋 mianownika: je艣li granica $\frac{a_n}{b_n}$ jest sko艅czona niezerowa (r贸wnocze艣nie jest niezerowa sko艅czona granica $\frac{b_n}{a_n})$, to $\sum a_n, \sum b_n$ s膮 oba zbie偶ne lub oba rozbie偶ne. (Mo偶na jeszcze dopisa膰 dalsz膮 cz臋艣膰 twierdzenia, ale nie jest ona potrzebna w tej chwili). |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj