Funkcja kwadratowa

Jeżeli a ≠ 0, to funkcję f określoną wzorem f(x) = ax2 + bx + c nazywamy funkcją kwadratową.

a, b, c - współczynniki liczbowe funkcji kwadratowej,
Δ = b2 - 4ac - wyróżnik funkcji kwadratowej.

Dziedziną funkcji kwadratowej jest cały zbiór liczb rzeczywistych. Zbiorem wartości funkcji dla a > 0 jest przedział: y[-Δ4a,+), dla a < 0 przedział y(-,-Δ4a].

Funkcję kwadratową można zapisać w postaci ogólnej (wielomianowej), kanonicznej lub iloczynowej.
- postać ogólna: f(x) = ax2 + bx + c.
- postać kanoniczna: f(x) = a(x - p)2 + q, gdzie   p=-b2aq=-Δ4a
- postać iloczynowa: f(x) = a(x - x1)(x - x2), gdzie x1, x2 są miejscami zerowymi.


Wykres funkcji kwadratowej

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, o wierzchołku W=(-b2a,-Δ4a), która jest obrazem paraboli o równaniu f(x) = ax2, w przesunięciu o wektor u=[-b2a,-Δ4a].

Gdy a > 0, to ramiona paraboli są skierowane w górę i posiada ona minimum globalne, w przeciwnym wypadku są skierowane w dół i ma ona maksimum globalne. Miejscem przecięcia wykresu funkcji kwadratowej z osią OY jest punkt (0, c).

parabola parabola


Miejsca zerowe funkcji kwadratowej

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej zależy od wartości wyróżnika Δ = b2 - 4ac.
W zależności od wyróżnika Δ funkcja kwadratowa:
- posiada dwa miejsca zerowe dla Δ > 0.
- posiada jedno podwójne miejsce zerowe dla Δ = 0,
- nie posiada miejsc zerowych dla Δ < 0,

Dla Δ > 0 funkcja kwadratowa posiada dwa miejsca zerowe: x1=-b-Δ2a,  x2=-b+Δ2a
Dla Δ = 0 jedynym miejscem zerowym jest x0=-b2a

Monotoniczność funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa w pewnym przedziale jest funkcją rosnącą, a w pewnym malejącą. Jeśli a > 0 funkcja jest rosnąca dla x(-b2a,+), malejąca dla x(-,-b2a).
Jeżeli a < 0 funkcja jest rosnąca dla x(-,-b2a), malejąca dla x(-b2a,+).



Własności oraz wykres funkcji kwadratowej postaci ogólnej.

Przykłady poprawie wprowadzanych wzorów:
y = 2x^2 + x - 3
y = 2x^2 + 5x - 3
y = x^2 - (1/2)x - 3
y = -x^2 - (1/4)x

Podaj wzór funkcji kwadratowej:      



matematyka » analiza » funkcje » rodzaje funkcji » funkcja kwadratowa




gość logowanie

© 2014 Mariusz Śliwiński      mapa | o serwisie | kontakt | rss online: 35 drukuj