Funkcja kwadratowa (trójmian kwadratowy)

Funkcja kwadratowa

Jeżeli a ≠ 0, to funkcję f określoną wzorem f(x) = ax² + bx + c nazywamy funkcją kwadratową.

a, b, c - współczynniki liczbowe funkcji kwadratowej,
Δ = b² - 4ac - wyróżnik funkcji kwadratowej.

Dziedziną funkcji kwadratowej jest cały zbiór liczb rzeczywistych. Zbiorem wartości funkcji jest dla a > 0 przedział: $y \in [\frac{- Δ}{4 a}, + \infty)$ , a dla a < 0 przedział $y \in (- \infty, \frac{- Δ}{4 a}]$ .

Funkcję kwadratową można zapisać w postaci ogólnej (wielomianowej), kanonicznej lub iloczynowej.
- postać ogólna: f(x) = ax² + bx + c.
- postać kanoniczna: f(x) = a(x - p)² + q, gdzie $p = - \frac{b}{2 a}, q = - \frac{Δ}{4 a}$
- postać iloczynowa: f(x) = a(x - x₁)(x - x₂), gdzie x₁, x₂ są miejscami zerowymi.

Wykres funkcji kwadratowej

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, o wierzchołku $W = (\frac{- b}{2 a}, \frac{- Δ}{4 a})$ , która jest obrazem paraboli o równaniu f(x) = ax², w przesunięciu o wektor $\vec{u} = [\frac{- b}{2 a}, \frac{- Δ}{4 a}]$ .

Gdy a > 0, to ramiona paraboli są skierowane w górę i posiada ona minimum globalne, w przeciwnym wypadku są skierowane w dół i ma ona maksimum globalne. Miejscem przecięcia wykresu funkcji kwadratowej z osią OY jest punkt (0, c).

parabola

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej zależy od wartości wyróżńika
Δ = b² - 4ac.
W zależności od wyróżnika Δ rzeczywistej funkcji kwadratowej:
- posiada ona dwa miejsca zerowe dla Δ > 0.
- posiada ona jedno podwójne miejsce zerowe dla Δ = 0,
- nie posiada ona miejsc zerowych dla Δ < 0,

Dla Δ > 0 otrzymamy dwa rozwiązania: $x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}, x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$
Dla Δ = 0 jedynym rozwiązaniem jest $x_{0} = \frac{- b}{2 a}$

W zbiorze liczb zespolonych funkcja kwadratowa ma zawsze dwa miejsca zerowe. Przy ujemnym wyróżniku są to rozwiązania zespolone, a przy zerowym funkcja ma pierwiastek podwójny.

Monotoniczność funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa w pewnym przedziale jest funkcją rosnącą, a w pewnym malejącą. Dla a > 0 funkcja jest rosnąca dla $x \in (\frac{- b}{2 a}, + \infty)$ , malejąca dla $x \in (- \infty, \frac{- b}{2 a})$ .
Jeżeli a < 0 funkcja jest rosnąca dla $x \in (- \infty, \frac{- b}{2 a})$ , a malejąca dla $x \in (\frac{- b}{2 a}, + \infty)$ .

Zbadaj własności funkcji kwadratowej i narysuj wykres

Przykłady poprawnych wzorów:
y = 2x^2 + x - 3
y = (3/4)x^2 - (1/2)x + 3
y = (0,2)x^2 + 1/2
y = -x^2 - (1/4)x
gdzie x^2 to x²