Funkcja kwadratowa

Jeżeli a ≠ 0, to funkcję f określoną wzorem f(x) = ax2 + bx + c nazywamy funkcją kwadratową.

a, b, c - współczynniki liczbowe funkcji kwadratowej,
Δ = b2 - 4ac - wyróżnik funkcji kwadratowej.

Dziedziną funkcji kwadratowej jest cały zbiór liczb rzeczywistych. Zbiorem wartości funkcji jest dla a > 0 przedział: y [ -Δ4a ,+ ) , a dla a < 0 przedział y ( - , -Δ4a ] .

Funkcję kwadratową można zapisać w postaci ogólnej (wielomianowej), kanonicznej lub iloczynowej.
- postać ogólna: f(x) = ax2 + bx + c.
- postać kanoniczna: f(x) = a(x - p)2 + q, gdzie   p= -b2a q= -Δ4a
- postać iloczynowa: f(x) = a(x - x1)(x - x2), gdzie x1, x2 są miejscami zerowymi.

Wykres funkcji kwadratowej

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, o wierzchołku W= ( -b2a , -Δ4a ) , która jest obrazem paraboli o równaniu f(x) = ax2, w przesunięciu o wektor u = [ -b2a , -Δ4a ] .

Gdy a > 0, to ramiona paraboli są skierowane w górę i posiada ona minimum globalne, w przeciwnym wypadku są skierowane w dół i ma ona maksimum globalne. Miejscem przecięcia wykresu funkcji kwadratowej z osią OY jest punkt (0, c).

parabola parabola

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej zależy od wartości wyróżńika
Δ = b2 - 4ac.
W zależności od wyróżnika Δ rzeczywistej funkcji kwadratowej:
- posiada ona dwa miejsca zerowe dla Δ > 0.
- posiada ona jedno podwójne miejsce zerowe dla Δ = 0,
- nie posiada ona miejsc zerowych dla Δ < 0,

Dla Δ > 0 otrzymamy dwa rozwiązania: x1= -b-Δ 2a ,   x2= -b+Δ 2a
Dla Δ = 0 jedynym rozwiązaniem jest x0= -b2a

W zbiorze liczb zespolonych funkcja kwadratowa ma zawsze dwa miejsca zerowe. Przy ujemnym wyróżniku są to rozwiązania zespolone, a przy zerowym funkcja ma pierwiastek podwójny.

Monotoniczność funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa w pewnym przedziale jest funkcją rosnącą, a w pewnym malejącą. Dla a > 0 funkcja jest rosnąca dla x ( -b2a ,+ ) , malejąca dla x ( - , -b2a ) .
Jeżeli a < 0 funkcja jest rosnąca dla x ( - , -b2a ) , a malejąca dla x ( -b2a ,+ ) .


Zbadaj własności funkcji kwadratowej i narysuj wykres

Przykłady poprawnych wzorów:
y = 2x^2 + x - 3
y = (3/4)x^2 - (1/2)x + 3
y = (0,2)x^2 + 1/2
y = -x^2 - (1/4)x
gdzie x^2 to x2

Podaj wzór funkcji kwadratowej:  

narzędzia słownik wzory tablice
matematyka » analiza » funkcje » rodzaje funkcji » funkcja kwadratowa

Copyright © 2008 Mariusz Śliwiński

Osób online: 14

Drukuj