Funkcja monotoniczna

Mówimy, że funkcja f jest monotoniczna w przedziale, jeśli posiada w nim jedną z czterech własności:
    - jest rosnąca,
    - jest malejąca,
    - jest nierosnąca,
    - jest niemalejąca.

Funkcja rosnąca

Funkcję f nazywamy rosnącą w zbiorze X, jeśli dla dowolnych argumentów x1, x2X prawdziwa jest implikacja   x1 < x2f(x1) < f(x2)

Funkcja malejąca

Funkcję f nazywamy malejącą w zbiorze X, jeśli dla dowolnych argumentów x1, x2X prawdziwa jest implikacja   x1 < x2f(x1) > f(x2)

Funkcja nierosnąca

Funkcję f nazywamy nierosnącą w zbiorze X, jeśli dla dowolnych argumentów x1, x2X prawdziwa jest implikacja   x1 < x2f(x1) ≥ f(x2)

Funkcja niemalejąca

Funkcję f nazywamy niemalejącą w zbiorze X, jeśli dla dowolnych argumentów x1, x2X prawdziwa jest implikacja   x1 < x2f(x1) ≤ f(x2)

Funkcja stała

Funkcję f nazywamy stałą w zbiorze X, jeśli dla dowolnych argumentów x1, x2X zachodzi równość f(x1) = f(x2).


Funkcje rosnące i malejące są różnowarotościowe (różnym argumentom odpowiadają różne wartości funkcji). O obu tych funkcjach mówimy, że są ściśle monotoniczne, funkcje zaś nierosnące i niemalejące nazywamy monotonicznymi w szerszym sensie.

Twierdzenie
Jeżeli funkcja f określona i różniczkowalna w przedziale ADf  ma pochodną dodatnią (ujemną) w całym przedziale A, to jest w tym przedziale rosnąca (malejąca).

Wniosek
Jeżeli funkcja f określona i różniczkowalna w przedziale (a, b) ⊂ Df jest w tym przedziale rosnąca (malejąca), to jej pochodna f '(x) przyjmuje wartość nieujemną (niedodatnią), dla każdego x ∈ (a, b).

Określanie monotoniczności

Aby określić monotoniczność funkcji:
1. Badamy znak różnicy f(x1) - f(x2), przy założeniu, że x1 - x2 > 0, gdzie x1, x2A i ADf,
2. Korzystamy z różniczkowego kryterium badania monotonicznośći funkcji w zbiorze A (tzw. wnioski z twierdzenia Lagrange'a):
   - jeśli f '(x) = 0 dla każdego x ∈ (a, b), to funkcja f jest stała w przedziale (a, b).
   - jeśli f '(x) > 0 dla każdego x ∈ (a, b), to funkcja f jest rosnąca w przedziale (a, b).
   - jeśli f '(x) < 0 dla każdego x ∈ (a, b), to funkcja f jest malejąca w przedziale (a, b).

matematyka » analiza » funkcje » własności funkcji » funkcja monotoniczna




gość logowanie

© 2014 Mariusz Śliwiński      mapa | o serwisie | kontakt | rss online: 76 drukuj