logowanie

matematyka » analiza » funkcje » własności funkcji » funkcja odwrotna

Funkcja odwrotna

Funkcję  g: YX  nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f: XY, jeżeli
Y = f(X), X = g(Y) i dla każdego xX zachodzi równość: g(f(x)) = x.
Funkcję odwrotną do f oznaczamy przez f -1.

Niech f: XY będzie funkcją różnowartościową odwzorowującą zbiór X na zbiór Y.
        f -1(y) = xy = f(x), gdzie yY, xX.

Jeżeli funkcja g: YX jest funkcją odwrotną do funkcji f: XY, to spełnione są następujące warunki:
- f przekształca X na Y i g przekształca Y na X,
- (g(y) = x) ⇔ (f(x) = y) dla każdego xX i yY,
- funkcje f i g są różnowartościowe.

Z definicji funkcji odwrotnej można wyciągnąć taki oto wniosek. Jeżeli funkcja g jest funkcją odwrotną do funkcji f, to funkcja f jest funkcją odwrotną do funkcji g.
Zachodzi więc następująca równość: (f -1)-1 = f.

Dla każdej funkcji różnowartościowej f: XY przekształcającej X na Y istnieje dokładnie jedna funkcja odwrotna.

Funkcja odwracalna

Jeżeli funkcja f ma funkcję odwrotną f -1, to funkcję f nazywamy funkcją odwracalną.

Wniosek: Jeżeli obrazem wykresu funkcji f: XY w symetrii względem prostej y = x jest wykres funkcji przekształcającej pewien podzbiór X w Y, to funkcja f jest odwracalna. Geometryczne będzie to oznaczać, że układ współrzędnych na płaszczyźnie odbity został względem prostej y = x.





© 2018 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 89 drukuj