Funkcja odwrotna

Funkcję g: Y → X nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f: X → Y, jeżeli
Y = f(X), X = g(Y) i dla każdego x ∈ X zachodzi równość: g(f(x)) = x.
Funkcję odwrotną do f oznaczamy przez f^-1.

Niech f: X → Y będzie funkcją różnowartościową odwzorowującą zbiór X na zbiór Y.
f^-1(y) = x ⇔ y = f(x), gdzie y ∈ Y, x ∈ X.

Jeżeli funkcja g: Y → X jest funkcją odwrotną do funkcji f: X → Y, to spełnione są następujące warunki:
- f przekształca X na Y i g przekształca Y na X,
- (g(y) = x) ⇔ (f(x) = y) dla każdego x∈X i y∈Y,
- funkcje f i g są różnowartościowe.

Z definicji funkcji odwrotnej można wyciągnąć taki oto wniosek. Jeżeli funkcja g jest funkcją odwrotną do funkcji f, to funkcja f jest funkcją odwrotną do funkcji g.
Zachodzi więc następująca równość: (f^-1)^-1 = f.

Dla każdej funkcji różnowartościowej f: X → Y przekształcającej X na Y istnieje dokładnie jedna funkcja odwrotna.

Funkcja odwracalna

Jeżeli funkcja f ma funkcję odwrotną f^-1, to funkcję f nazywamy funkcją odwracalną.

Wniosek: Jeżeli obrazem wykresu funkcji f: X → Y w symetrii względem prostej y = x jest wykres funkcji przekształcającej pewien podzbiór X w Y, to funkcja f jest odwracalna. Geometryczne będzie to oznaczać, że układ współrzędnych na płaszczyźnie odbity został względem prostej y = x.