logowanie

matematyka » analiza » granica i ciągłość funkcji » granica funkcji w punkcie

Granica funkcji w punkcie

Niech f będzie funkcją określoną w pewnym sąsiedztwem S punktu x0.

Definicja Heinego
Liczbę g nazywamy granicą funkcji f w punkcie x0, jeżeli dla każdego ciągu (xn) o wyrazach xnS, zbieżnego do x0, ciąg (f(xn)) wartości funkcji jest zbieżny do g.

Zdanie: "liczba g jest granicą funkcji f w punkcie x0" zapisujemy
lim xx0 f(x) = g    lub    f(x) xx0 g .

Definicja Cauchy'ego
Liczbę g nazywamy granicą funkcji f w punkcie x0, jeżeli dla każdego ε > 0 istnieje takie δ > 0, że dla każdego x spełniającego nierówność
                  0 < |x - x0| < δ
jest spełniona nierówność
                  |f(x) - g| < ε.

Definicje tę można zapisać symbolicznie
lim xx0 f(x) = g ε>0 δ>0 x ( 0<|x-x0| <δ |f(x)-g|<ε ) .

Definicję Cauchy'ego należy rozumieć następująco: liczba g jest granicą funkcji f w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ε > 0 istnieje takie δ > 0, że dla każdego x należącego do sumy przedziałów (x0 - δ, x0) ∪ (x0, x0 + δ), wartość funkcji f(x) należy do przedziału (g - ε, g + ε).

Dwie definicje są równoważne. Jeżeli liczba g jest granicą funkcji f w punkcie x0 w sensie definicji Heinego, to jest również granicą tej funkcji w sensie definicji Cauchy'ego w punkcie x0 oraz odwrotnie.





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 95 drukuj