logowanie

Granice niewłaściwe

Niech funkcja f będzie określona w pewnym sąsiedztwem S punktu x₀.

Definicja Heinego
Funkcja f ma w punkcie x₀ granicę niewłaściwą -∞, co zapisujemy ${\displaystyle \underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\mathrm{-\infty }}$, jeżeli dla każdego ciągu (x_n) o wyrazach x_n ∈ S, zbieżnego do x₀, ciąg (f(x_n)) wartości funkcji jest rozbieżny do -∞.
Funkcja f ma w punkcie x₀ granicę niewłaściwą +∞, co zapisujemy ${\displaystyle \underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\mathrm{+\infty }}$, jeżeli dla każdego ciągu (x_n) o wyrazach x_n ∈ S, zbieżnego do x₀, ciąg (f(x_n)) wartości funkcji jest rozbieżny do +∞.

Definicja Cauchy'ego
${\displaystyle \underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\mathrm{-\infty }\iff \underset{M}{\forall }\underset{\delta >0}{\exists }\underset{x}{\forall }(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)<M)}$,
${\displaystyle \underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\mathrm{+\infty }\iff \underset{M}{\forall }\underset{\delta >0}{\exists }\underset{x}{\forall }(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)>M)}$.

© 2024 math.edu.pl      kontakt