Jak rozmieszczone są liczby pierwsze?

Różne znane dowody istnienia nieskończoności liczb pierwszych nie wskazują, jak wyznaczyć n-tą liczbę pierwszą. Nie ma żadnego sensownego wzoru ani funkcji przedstawiającej liczby pierwsze. Z pewną dokładnością można przewidzieć liczbę liczb pierwszych, ale rozmieszczenie liczb pierwszych w dowolnych przedziałach cechuje swoista przypadkowość. Wszelkie wymyślane sposoby rozmieszczania liczb pierwszych szybko obalane są przez jakiś kontrprzykład.

Dla danej liczby x oznaczmy przez π(x) liczbę liczb pierwszych, nie większych od danej liczby x. Jest to funkcja, której wartością jest ilość liczb pierwszych mniejszych lub równych od zadanej liczby naturalnej, nazywamy ją funkcją zliczającą liczby pierwsze.

Mamy więc:
π(1) = 0
π(2) = 1
π(3) = 2
π(4) = 2
π(5) = 3
π(10) = 4
π(100) = 25
π(1000) = 168

Widzimy, że funkcja π jest rosnąca i monotoniczna oraz, że rośnie szybciej niż y=x, ale wolniej niż y=12x. Liczby pierwsze stanowią więc mniej niż połowę wszystkich liczb naturalnych, ale więcej niż pierwiastek. Przy badaniu funkcji π(x), należy porównywać ją z takimi funkcjami, których wartości są możliwie bliskie wartościom funkcji π(x).

W 1859 r. matematyk niemiecki Bernhard Riemann podał bardzo dokładne oszacowanie. Skorzystał w tym celu z właściwości funkcji Dzeta ζ. Określił funkcję dzeta dla liczb zespolonych o części rzeczywistej większej od 1: ζ(x)= n=1 1nx . Riemann znalazł równanie funkcyjne dla funkcji dzeta i zdefiniował tzw. funkcję Riemanna R(x)= n=1 μ(n) n Li( x1n ) , po czym podał wzór π(x) = R(x) - ∑R(xρ), gdzie sumowanie przebiega po wszystkich zespolonych zerach funkcji Dzeta Riemanna. Tak zdefiniowana funkcja daje dobre przybliżenie liczby liczb pierwszych.


W 1896 roku Jacques Hadamard i Charles Jean de la Vallée Poussin korzystając z wyników uzyskanych przez Riemanna niezależnie dowiedli, że stosunek π(x) do xlnx zbiega do jedności, gdy x wzrasta nieograniczenie. Jest to tzw. podstawowe twierdzenie o liczbach pierwszych. Funkcję zliczającą liczby pierwsze przybliża też tzw. reszta logarytmu całkowego Li(x)= 2 x dt lnt . Niestety zarówno jedna jak i druga funkcja nie określają tak dokładnie wartości funkcji π jak wzór Riemanna.



Jeżeli n jest liczbą naturalną wiąkszą od 2, to między n a n! leży co najmniej jedna liczba pierwsza (n! oznacza iloczyn 1 · 2 · ... · n).

Dowód
Ponieważ n > 2, więc liczba całkowita n! - 1 > 1 oraz ma dzielnik pierwszy pn! - 1 < n! Nie może tu być pn, gdyż wtedy p byłoby jednym z czynników iloczynu n!, więc p byłoby dzielnikiem liczby n! i n! - 1. Liczba p byłaby więc dzielnikiem róznicy n! - (n! - 1) = 1, co jest niemożliwe. Mamy więc n < p < n!.

W roku 1850 rosyjski matematyk Pafnutij Czebyszew udowodnił mocniejsze twierdzenie tzw. postulat Bertranda, że dla liczb naturalnych większych od 3 istnieje co najmniej jedna liczba pierwsza między n a 2n - 2. Z twierdzenia Czebyszewa wynika, że dla każdej liczby naturalnej n istnieją co na najmniej trzy liczby pierwsze mające każda n cyfr.

Niektóre liczby pierwsze dzieli odstęp równy 2, z drugiej strony odległości między dwoma kolejnymi liczbami pierwszymi mogą być dowolnie duże. Ciągiem n kolejnych liczb nie zawierającej żadnej liczby pierwszej jest np. ciąg
(n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, (n + 1)! + 4, ..., (n + 1)! + (n + 1),
gdyż pierwsza z liczb tego ciągu jest podzielna przez 2, druga przez 3 itd., ostatnia przez n + 1, wszystkie więc są złożone.

matematyka » arytmetyka » liczby pierwsze » rozmieszczenie liczb pierwszych




gość logowanie

© 2014 Mariusz Śliwiński      mapa | o serwisie | kontakt | rss online: 37 drukuj