logowanie

matematyka » arytmetyka » zbiory » zbiory liczbowe » liczby algebraiczne

Liczby algebraiczne

Liczby niewymierne otrzymane jako stosunek przekątnej do boku w kwadracie, pięciokącie, sześciokącie są rozwiązaniami pewnych równań algebraicznych. Dla kwadratu równanie ma postać x2 - 2 = 0, dla pięciokąta: x2 - x - 1 = 0, a dla sześciokąta: x2 - 3 = 0. Liczby te noszą nazwę algebraicznych.

Każda liczba x, będąca rozwiązaniem równania
anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0 = 0,
jest liczbą algebraiczną, której stopień jest najmniejszą możliwą liczbą n w takim równaniu.

Równania wielomianowe anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0 = 0, w których współczynniki an, ..., a1, a0 są liczbami rzeczywistymi, "tworzą" zbiór liczb: zespolonych będących rozwiązaniem jednego z tych równań. To właśnie liczby te nazywamy liczbami algebraicznymi.

Większość liczb pojawiających się w zagadnieniach geometrycznych to liczby algebraiczne. Twierdzenie Pitagorasa pokazuje, że często trzeba rozpatrywać pierwiastki kwadratowe, a każdy pierwiastek równania kwadratowego można otrzymać geometrycznie. 2 jest liczbą algebraiczną (rozwiązanie równania x2 - 2 = 0). Niektóre liczby zespolone nierzeczywiste są również liczbami algebraicznymi; na przykład i (rozwiązanie równania x2 + 1 = 0) Najprostsze równanie dla liczby algebraicznej, może być jednocześnie spełnione przez inne liczby, choć niektóre z nich mogą być zespolone.

Liczby zespolone, które nie mogą być rozwiązaniem żadnego równania wielomianowego, to liczby przestępne.





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 36 drukuj