logowanie

matematyka » arytmetyka » liczby pierwsze » ci±gi liczb » liczby Mersenne'a

Liczby Mersenne'a

W XVII wieku francuski mnich Marin Mersenne rozpatrywał możliwo¶ć istnienia liczb pierwszych postaci $2^n - 1$. Stwierdził, że $2^n-1$ jest liczb± pierwsz± dla $n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257$ i nie jest ni± dla żadnej inne warto¶ci n mniejszej od $257$. Przez następne dwa wieki nikt nie był w stanie tego potwierdzić ani zaprzeczyć. W 1876 r. E. Lucasowi udało się udowodnić, że $2^ - 1$ jest liczb± pierwsz± i przez następnych siedem dekad była to największa liczba pierwsza. W tym czasie odkryto błędy w stwierdzeniu Mersenne'a, pomylił się w przypadku liczb $67$ i $257$, a pomin±ł liczby $61, 89$ i $107$, które podstawione w miejsce $n$ daj± liczby pierwsze.

Liczby postaci $M_n = 2^n - 1$, gdzie $n$ jest liczb± naturaln± nazywamy liczbami Mersenne'a.

Wiadomo, że jeżeli $n$ jest liczb± złożon±, to liczba $M_n$ jest także liczb± złożon±. Prawdziwe jest stwierdzenie, że jeżeli liczba $M_n$ jest liczb± pierwsz±, to liczba $n$ musi być pierwsz±, ale niekoniecznie na odwrót. Zagadnienie zatem polega na tym, aby rozstrzygn±ć, czy dana liczba Mersenne'a jest pierwsza, a jeżeli nie jest, aby znaleĽć jej dzielniki. Wynik dotycz±cy dzielników sformułował Leonhard Euler w 1750 r. Jeżeli $n \gt 3$ jest liczb± pierwsz±, $n \equiv 3 \pmod 4$, to liczba $2n + 1$ dzieli $M_n$ wtedy i tylko wtedy, gdy $2n + 1$ jest liczb± pierwsz±, wówczas $M_n$ jest liczb± złożon±.

Liczby pierwsze Mersenne'a $M_p$, gdzie $p$ jest liczb± pierwsz± oraz $p \le 127$, zostały odkryte przed er± komputerów. Pierwsz± próbę szukania liczb pierwszych Mersenne'a przy użyciu komputera podj±ł w 1951 r. A. Turing, ale nie odniósł sukcesu. Obecnie znane s± metody umożliwiaj±ce sprawdzenie, czy liczba $2^p-1$ jest pierwsza. Maj±c do dyspozycji coraz mocniejsze jednostki obliczeniowe, co pewien czas można spodziewać się odkrycia nowej liczby pierwszej Mersenne'a. Prawdopodobnie nie dla wszystkich liczb pierwszych $p$ mniejszych od rekordowej, zbadano czy liczba $M_p$ jest pierwsza, może się więc zdarzyć, że kolejna znaleziona liczba pierwsza Mersenne'a nie będzie rekordowa.


Wykaz liczb pierwszych Mersenne'a (listopad 2014 r.)

1. $2^{2 } - 1$
2. $2^{3 } - 1$
3. $2^{5 } - 1$
4. $2^{7 } - 1$
5. $2^{13 } - 1$
6. $2^{17 } - 1$
7. $2^{19 } - 1$
8. $2^{31 } - 1$
9. $2^{61 } - 1$
10. $2^{89 } - 1$
11. $2^{107 } - 1$
12. $2^{127 } - 1$
13. $2^{521 } - 1$
14. $2^{607 } - 1$
15. $2^{1279 } - 1$
16. $2^{2203 } - 1$
17. $2^{2281 } - 1$
18. $2^{3217 } - 1$
19. $2^{4253 } - 1$
20. $2^{4423 } - 1$
21. $2^{9689 } - 1$
22. $2^{9941 } - 1$
23. $2^{11213 } - 1$
24. $2^{19937 } - 1$
25. $2^{21701 } - 1$
26. $2^{23209 } - 1$
27. $2^{44497 } - 1$
28. $2^{86243 } - 1$
29. $2^{110503 } - 1$
30. $2^{132049 } - 1$
31. $2^{216091 } - 1$
32. $2^{756839 } - 1$
33. $2^{859433 } - 1$
34. $2^{1257787 } - 1$
35. $2^{1398269 } - 1$
36. $2^{2976221 } - 1$
37. $2^{3021377 } - 1$
38. $2^{6972593 } - 1$
39. $2^{13466917 } - 1$
40. $2^{20996011 } - 1$
41. $2^{24036583 } - 1$
42. $2^{25964951 } - 1$
43. $2^{30402457 } - 1$
44. $2^{32582657 } - 1$
45. $2^{37156667 } - 1$
46. $2^{42643801 } - 1$
47. $2^{43112609 } - 1$
48. $2^{57885161 } - 1$


Liczby Mersenne'a s± zwi±zane z odnajdywaniem kolejnych liczb doskonałych, ponieważ występuj± we wzorze, który generuje liczby doskonałe. Odkryciu nowej liczby pierwszej Mersenne'a towarzyszy więc odkrycie nowej liczby doskonałej.





© 2018 Mariusz ¦liwiński      o serwisie | kontakt online: 51 drukuj