logowanie

matematyka » algebra » macierze » macierz transponowana

Macierz transponowana

Macierz AT otrzymana przez zamianę miejscami wierszy i kolumn danej macierzy A nazywamy macierzą transponowaną. Operację tworzenia macierzy transponowanej nazywamy transpozycją.

Dla macierzy A = (aij)
AT = (aij)T = (aji)

A = AT =

Własności transpozycji
Wyznacznik macierzy transponowanej jest taki sam, jak wyznacznik macierzy wyjściowej. Transponowaniem wektora wierszowego jest wektor kolumnowy i na odwrót. Jeżeli dwie macierze A i B mogą być pomnożone przez siebie, wtedy macierzą transponowaną ich iloczynu AB = C jest CT = BTAT. Innymi słowy, macierzą transponowaną z iloczynu macierzy jest iloczyn macierzy transponowanych w odwrotnej kolejności. Transpozycja nie wpływa również na ślad macierzy kwadratowej.


Macierz ortogonalna

Macierz kwadratową A nazywamy macierzą ortogonalną, jeżeli
AAT = I
gdzie I oznacza macierz jednostkową oraz AT oznacza macierz transponowaną względem A.

Innymi słowy, macierz jest ortogonalna, jeśli jej macierzą odwrotną jest macierz do niej transponowana lub też macierz jest ortogonalna wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn skalarny dwóch wierszy (kolumn) tej macierzy jest równy zeru, a iloczyn skalarny każdego wiersza (kolumny) jest równy jeden.
Jeżeli macierz jest ortogonalna, to również jej transpozycja jest ortogonalna.


Macierz symetryczna

Macierz kwadratowa A = stopnia n jest macierzą symetryczną, jeżeli spełnia warunek
AT = A

Przykład
A =





© 2018 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 75 drukuj