Macierz transponowana (przestawiona), ortogonalna

Macierz transponowana

Macierz A^T otrzymana przez zamianę miejscami wierszy i kolumn danej macierzy A nazywamy macierzą transponowaną. Operację tworzenia macierzy transponowanej nazywamy transpozycją.

Dla macierzy A = (a_ij)
A^T = (a_ij)^T = (a_ji)

$A = [\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \\ a_{3} & b_{3} \end{matrix}]$ $A^{T} = [\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix}]$

Własności transpozycji
Wyznacznik macierzy transponowanej jest taki sam, jak wyznacznik macierzy wyjściowej. Transponowaniem wektora wierszowego jest wektor kolumnowy i na odwrót. Jeżeli dwie macierze A i B mogą być pomnożone przez siebie, wtedy macierzą transponowaną ich iloczynu AB = C jest C^T = B^TA^T. Innymi słowy, macierzą transponowaną z iloczynu macierzy jest iloczyn macierzy transponowanych w odwrotnej kolejności. Transpozycja nie wpływa również na ślad macierzy kwadratowej.

Macierz ortogonalna

Macierz kwadratową A nazywamy macierzą ortogonalną, jeżeli
AA^T = I
gdzie I oznacza macierz jednostkową oraz A^T oznacza macierz transponowaną względem A.

Innymi słowy, macierz jest ortogonalna, jeśli jej macierzą odwrotną jest macierz do niej transponowana lub też macierz jest ortogonalna wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn skalarny dwóch wierszy (kolumn) tej macierzy jest równy zeru, a iloczyn skalarny każdego wiersza (kolumny) jest równy jeden.
Jeżeli macierz jest ortogonalna, to również jej transpozycja jest ortogonalna.

Macierz symetryczna

Macierz kwadratowa A = [a_ij] stopnia n jest macierzą symetryczną, jeżeli spełnia warunek
^{A^T = A}

Przykład
$A = [\begin{matrix} 4 & 3 & 7 & 5 \\ 3 & 6 & 9 & 1 \\ 7 & 9 & 8 & 2 \\ 5 & 1 & 2 & 0 \end{matrix}]$

Macierz transponowana

Matematyka