Mnożenie macierzy

Mnożenie macierzy przez skalar

Mnożenie macierzy przez skalar polega na mnożeniu każdego elementu macierzy przez dany skalar. Mnożąc macierz m×n przez stałą k lub przez liczbę, otrzymujemy macierz, która ma równierz wymiar m×n. Jeżeli element w i-tym wierszu i j-tej kolumnie ma postać a_ij, to odpowiednim elementem iloczynu jest ka_ij.

$k \cdot [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{matrix}] = [\begin{matrix} k a_{11} & k a_{12} & ... & k a_{1n} \\ k a_{21} & k a_{22} & ... & k a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ k a_{m1} & k a_{m2} & ... & k a_{mn} \end{matrix}]$

Działanie to jest rozdzielne względem dodawania i odejmowania macierzy. Zatem dla dwóch macierzy A i B zachodzi:
k(A + B) = kA + kB oraz kA = Ak

Mnożenie macierzy

Mnożenie macierzy A i B, w wyniku, którego otrzymujemy iloczyn AB, jest wykonalne tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B.

Jeżeli macierz A z elementemi postaci a_ij ma wymiar m×p i macierz B z elementami postaci b_ij ma wymiar p×n, to ich iloczyn AB = C jest macierzą wymiaru m×n o elementach c_ij będących sumą iloczynów: a_i1 b_1j + a_i2 b_2j + a_i3 b_3j + ... + a_ip b_pj

c_ij = a_i1 b_1j + a_i2 b_2j + a_i3 b_3j + ... + a_ip b_pj

Mnożenie macierzy nie jest przemienne, tzn. na ogół AB ≠ BA.

Mnożenie macierzy

Matematyka