Pierwiastkowanie (pierwiastek arytmetyczny)

Pierwiastkowanie

Obliczanie pierwiastka z danej liczby jest związane z potęgowaniem, jest to działanie odwrotne do potęgowania. Pierwiastek arytmetyczny stopnia n liczby nieujemnej a, to liczba nieujemna b, spełniająca bⁿ = a. Zapisujemy wówczas $\sqrt[n]{a}$ i czytamy pierwiastek n-tego stopnia z liczby a.

$\sqrt[n]{a} = b$

a - liczba podpierwiastkowa,
b - pierwiastek n-tego stopnia z a (wynik pierwiastkowania).
n - stopień pierwiastka,

Pierwiastek stopnia drugiego (n = 2) nazywany jest pierwiastkiem kwadratowym. Zapisujemy $\sqrt{a}$ . Pierwiastek stopnia trzeciego (n = 3) nazywany jest pierwiastkiem sześciennym. Zapisujemy $\sqrt[3]{a}$ .

Chcąc obliczyć $\sqrt{25}$ (czytaj: pierwiastek kwadratowy z 25), szukamy takiej liczby dodatniej, której kwadrat jest równy 25.
$\sqrt{25} = 5,$ bo $5 > 0$ i $5^{2} = 25$

Obliczając pierwiastek trzeciego stopnia z liczby 27 $(\sqrt[3]{27})$ , szukamy takiej liczby, której trzecia potęga jest równa 27.
$\sqrt[3]{27} = 3$ , bo $3^{3} = 27$ .

Nie każdą liczbę wymierną można spierwiastkować tak, aby otrzymać wymierny wynik. Nie da się wykonać w liczbach wymiernych pierwiastkowania $\sqrt{2}$ , ponieważ nie istnieje taka liczba wymierna podniesiona do potęgi drugiej, której wynikiem jest 2.
Wśród liczb naturalnych - liczby, na których da się wykonać pierwiastkowanie stopnia drugiego rozmieszczone są bardzo rzadko. Są to liczby kwadratowe: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, itd.. Ponadto pierwiastkowanie stopnia parzystego nie jest wykonalne dla liczb ujemnych, bo żaden możliwy wynik takiego działania nie spełniałby własności pierwiastkowania, tzn. gdyby $\sqrt{- 9} = - 3$ , to powinno zachodzić $(- 3)^{2} = - 9$ , a jest to nieprawda.
Pierwiastkowanie stopnia nieparzystego jest wykonalne dla wszystkich liczb rzeczywistych. Oznacza to, że możemy wyciągnąć pierwiastek stopnia nieparzystego z dowolnej liczby rzeczywistej, a wynik będzie zawsze określony. Jeżeli a < 0 i n = 2k + 1, gdzie k∈N⁺ to $\sqrt[n]{a} = - \sqrt[n]{| a |}$ .

Znak √ dla oznaczenia pierwiastka wprowadził niemiecki matematyk Christoff Rudolff w 1525 roku. Fibonacci używał do oznaczania pierwiastka symbolu przypominającego literę R.

Prawa działań na pierwiastkach