logowanie

matematyka » arytmetyka » działania na liczbach » pierwiastkowanie

Pierwiastkowanie

Obliczanie pierwiastka z danej liczby jest związane z potęgowaniem, jest to działanie odwrotne do potęgowania. Pierwiastek arytmetyczny stopnia $n$ liczby nieujemnej $a$, to liczba nieujemna $b$, spełniająca $b^n = a$. Zapisujemy symbolicznie $\sqrt[n]{a}$ i czytamy pierwiastek $n$-tego stopnia z liczby $a$.

$\sqrt[n]{a} = b$
$a$ - liczba podpierwiastkowa
$b$ - pierwiastek $n$-tego stopnia z $a$ (wynik pierwiastkowania)
$n$ - stopień pierwiastka

Pierwiastek stopnia drugiego $(n=2)$ nazywany jest pierwiastkiem kwadratowym i zapisujemy $\sqrt{a}$.
Pierwiastek stopnia trzeciego $(n=3)$ nazywany jest pierwiastkiem sześciennym i zapisujemy $\sqrt[3]{a}$.

Chcąc obliczyć $\sqrt{25}$ (pierwiastek kwadratowy z $25$), szukamy takiej liczby nieujemnej, dla której druga potęga jest równa $25$.
$\sqrt{25}=5$, bo $5 \ge 0$   i   $5^2=25$.
Obliczając $\sqrt[3]{27}$ (pierwiastek trzeciego stopnia z liczby $27$) szukamy takiej liczby, dla której trzecia potęga jest równa $27$.
$\sqrt[3]{27} = 3$ , bo $3^3=27$.

Nie każdą liczbę wymierną można poddać operacji pierwiastkowania tak, aby otrzymać wymierny wynik. Nie da się wykonać w liczbach wymiernych działania $\sqrt{2}$, ponieważ nie istnieje taka liczba wymierna podniesiona do potęgi drugiej, której wynikiem jest $2$. Pierwiastek, który nie posiada rozwiązania w zbiorze liczb wymiernych, jest liczbą niewymierną.

Pierwiastkowanie stopnia parzystego nie jest wykonalne dla liczb ujemnych, bo żaden możliwy wynik takiego działania, nie spełniałby własności pierwiastkowania, tzn. gdyby $\sqrt{-9}=-3$, to powinno zachodzić $(-3)^2 = -9$, a jest to nieprawda.
Pierwiastkowanie stopnia nieparzystego jest wykonalne dla wszystkich liczb rzeczywistych. Oznacza to, że możemy wyciągnąć pierwiastek stopnia nieparzystego z dowolnej liczby rzeczywistej, a wynik będzie zawsze określony.

Prawa działań na pierwiastkach
Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka
Usuwanie niewymierności z mianownika


Pierwiastek kwadratowy z liczby wymiernej.

Wprowadź liczbę wymierną w postaci
- liczby naturalnej: 4, 24, 96
- ułamka dziesiętnego: 1,44   0,81
- ułamka zwykłego: 4/9,   100/64
- liczby mieszanej: 4[8/25]





© 2016 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 21 drukuj