logowanie

matematyka » algebra » rachunek prawdopodobieństwa » prawdopodobieństwo warunkowe » całkowite

Prawdopodobieństwo całkowite, wzór Bayesa

Jeżeli zdarzenia B1, B2, ..., Bn wykluczają się parami i mają prawdopodobieństwa dodatnie, to dla każdego zdarzenia A zawartego w sumie zdarzeń B1B2 ∪ ... ∪ Bn:
P(A) = P(A|B1) · P(B1) + P(A|B2) · P(B2) + ... + P(A|Bn) · P(Bn)

Powyższy wzór nazywamy wzorem na prawdopodobieństwo całkowite i pozwala nam na obliczanie prawdopodobieństw wielu zdarzeń nie tylko w doświadczeniach dwuetapowych. W doświadczeniach o większej liczbie etapów stosujemy ten wzór wielokrotnie. Zdarzenia Bi nazywamy często hipotezami.

Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym można zilustrować za pomocą tzw. drzewa stochastycznego.
drzewo stochastyczne
Wzór na prawdopodobieństwo całkowite to suma iloczynów po wszystkich drogach, które kończą się w A. Drzewo stochastyczne zaczyna się początkiem, w węzłach drzewa umieszczamy wyniki kolejnych etapów doświadczenia. Węzły łączymy krawędziami . Obok każdej krawędzi dopisujemy prawdopodobieństwo otrzymania wyniku danego etapu. Suma prawdopodobieństw przyporządkowanych krawędziom wychodzącym z jednego węzła jest równa 1. Dowolny ciąg krawędzi łączący początek drzewa z jednym z końcowych węzłów nazywamy gałęzią drzewa. Każdej gałęzi odpowiada jeden wynik doświadczenia wieloetapowego. Prawdopodobieństwo wyniku odpowiadającego danej gałęzi drzewa równa się iloczynowi prawdopodobieństw przypisanych krawędziom, z których jest złożona gałąĽ (jest to tzw. reguła mnożenia dla drzew).


Twierdzenie Bayesa

Jeżeli zdarzenia B1, B2, ..., Bn wykluczają się parami i mają prawdopodobieństwa dodatnie, to dla każdego zdarzenia A zawartego w sumie zdarzeń B1B2 ∪ ... ∪ Bn:
P(Bk|A) = P(A|Bk) P(Bk) P(A|B1) P(B1) + P(A|B2) P(B2) + ...+ P(A|Bn) P(Bn)

Powyższy wzór nazywamy wzorem Bayesa. Twierdzenie Bayesa stosujemy głównie wtedy, gdy znamy wynik doświadczenia i pytamy o jego przebieg.





© 2018 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 71 drukuj