Reguła de l'Hospitala

Reguła została odkryta przez Johanna Bernoulliego, opublikowana zaś przez jego ucznia Guillaume Francois Antoine de l'Hospital. W 1696 G. de l'Hospital wydał podręcznik rachunku różniczkowego i całkowego l'Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes, w którym twierdzenie zawarł.

Jeżeli funkcje f i g są określone w pewnym sąsiedztwie S punktu x0 oraz spełnione są warunki:
                lim xx0 f(x) = lim xx0 g(x) = 0 ,
                istnieją pochodne f '(x) i g'(x) dla każdego xS,
                g'(x) ≠ 0 dla każdego xS
                istnieje granica lim xx0 f'(x) g'(x) (właściwa lub niewłaściwa),
to istnieje granica lim xx0 f(x) g(x) (odpowiednio właściwa lub niewłaściwa), przy czym
                                    lim xx0 f(x) g(x) = lim xx0 f'(x) g'(x) .

Twierdzenie prawdziwe jest także dla lim xx0 f(x) = lim xx0 g(x) = (-∞)

Twierdzenie pozostaje w mocy dla granic jednostronnych oraz dla granic funkcji, gdy x→∞ (x→-∞). Należy wtedy sąsiedztwo S punktu x0 zastąpić odpowiednio sąsiedztwem lewostronnym, sąsiedztwem prawostronnym, przedziałem nieskończonym (-∞, a) bądĽ (a, ∞), gdzie a jest dowolną, ale ustaloną liczbą rzeczywistą.

Z reguły de l'Hospitala korzystamy przy obliczaniu granic wyrażeń nieoznaczonych typu: 0 · ∞, ∞ - ∞, 00, ∞0, 1, które w łatwy sposób dają się doprowadzić do wyrażeń nieoznaczonych typu 00 i .

Dla nieoznaczoności typu 0 · ∞ korzystamy z tożsamości
[0 · ∞]      f(x)g(x) = f(x) (g(x)) -1 = g(x) (f(x)) -1       [00] ,    [] .

Dla nieoznaczoności typu ∞ - ∞ korzystamy z tożsamości
[∞ - ∞]      f(x) - g(x) = (g(x))-1 - (f(x))-1 (f(x)g(x)) -1       [00] .

Dla nieoznaczoności typu 00, ∞0, 1 korzystamy ze wzorów
(f(x))g(x) = eg(x)lnf(x)    (f(x) > 0)
lim xx0 e φ(x) = e lim xx0 φ(x) ,
a następnie przy obliczaniu granicy, jeżeli zajdzie potrzeba korzystamy z dwóch poprzednich tożsamości.

matematyka » analiza » rachunek różniczkowy » reguła de l'Hospitala




gość logowanie

© 2014 Mariusz Śliwiński      mapa | o serwisie | kontakt | rss online: 100 drukuj