Równania trygonometryczne

Równaniem trygonometrycznym nazywamy takie równanie, w którym zmienna występuje tylko w wyrażeniu, z którego oblicza się wartości funkcji trygonometrycznych

Zgodnie z definicją przykładami równań trygonometrycznych są:
sinx = 0,5,     sinx + cosx = 1,     tg2x + cosx = 1.    

Równaniami trygonometrycznymi nie są natomiast równania typu:
x + sinx = 0,     sinx + 2 x + ctgx = 1.

Rozwiązując równania trygonometryczne, staramy się je doprowadzić do równań elementarnych postaci: sinx = a,   cosx = a,   tgx = a,   ctgx = a, gdzie a jest ustaloną liczbą rzeczywistą. Następnie sprawdzamy w tablicach trygonometrycznych dla jakiego kąta sinx (cosx, tgx, ctgx) jest równy otrzymanej wartości.

Ponieważ dla każdego xR wartości funkcji sinus i kosinus zawierają się w przedziale <-1, 1>, więc równania sinx = a i cosx = a mają rozwiązania tylko wtedy, gdy a ∈ <-1, 1>.

Rozwiązania elementarnych równań trygonometrycznych

RównanieDziedzina równaniaRozwiązanie równaniaPrzedział podstawowy
sinx = a
a ∈ <-1, 1>
R x1 = x0 + 2kπ
x2 = π - x0 + 2kπ
x0 < - π2 , π2 >
cosx = a
a ∈ <-1, 1>
R x1 = x0 + 2kπ
x2 = - x0 + 2kπ
x0 ∈ <0, π>
tgx = a
aR
R\ { x= π2 + kπ ; kZ } x = x0 + kπ x0 ( - π2 , π2 )
ctgx = a
aR
R\ {x = kπ, kZ}
x = x0 + kπ x0 ∈ (0, π)

Przykład

2sinx = 1
sinx = 12
W przedziale [0, 2π), którego długość jest okresem funkcji sinus, równanie sinx = 12 ma dwa rozwiązania:
x1 = π6     x2 = 6
Stąd rozwiązaniami równania są liczby postaci
x1 = π6 + 2kπ   oraz   x2 = 6 + 2kπ,   gdzie kZ.


ctgx = 3
x0 = π6
Rozwiązanie: x = π6 + kπ,   gdzie kZ.


ctg34x=3
x0 = π6
34x= x0 + kπ,   gdzie kZ.
34x= π6 + kπ /· 43
Rozwiązanie: x = 9 + 43 kπ,   gdzie kZ.

matematyka » algebra » równania » równania trygononmetryczne




gość logowanie

© 2014 Mariusz Śliwiński      mapa | o serwisie | kontakt | rss online: 41 drukuj