Równania
Jeżeli dwa wyrażenia algebraiczne takie, że przynajmniej w jednym z nich występuje zmienna, połączymy znakiem równości, to otrzymamy równanie. Zmienną występującą w równaniu nazywamy niewiadomą. Wyrażenie po lewej stronie znaku równości nazywamy lewą stroną równania, wyrażenie po prawej stronie prawą stroną równania.
Jeśli w równaniu występuje jedna zmienna, to nazywamy je równaniem jednej zmiennej, jeśli zmiennych
jest więcej, to mówimy o równaniu wielu zmiennych.
Elementarne przekształcenia równania
- w równaniach należy przeprowadzić redukcję wyrazów podobnych lub sprowadzić do współnego mianownika i
ustalić dziedzinę.
- można dodawać lub odejmować od obu stron równania tą samą liczbę lub wyrażenie algebraiczne,
- można mnożyć lub dzielić obie strony równania przez liczbę rózną od zera lub przez wyrażenie algebraiczne.
Rozwiązać równanie, to znaczy znaleĄć zbiór wszystkich rozwiązań tego równania, aby po podstawieniu ich w miejsce niewiadomych i wykonaniu odpowiednich obliczeń lewa strona równania była równa prawej stronie równania.
Aby rozwiązać równanie, wyznaczamy dziedzinę równania (zbiór, w którym rozpatrywane jest
równanie), a następnie wykonując przekształcenia elementarne doprowadzamy je do postaci równania
elementarnego x = a, gdzie a jest rozwiązaniem.
Równanie, które ma jedno rozwiązanie jest równaniem oznaczonym.
Równanie, które ma nieskończenie wiele rozwiązań jest równaniem nieoznaczonym.
Równanie, które spełnia każdy obiekt z jego dziedziny, nazywamy równaniem tożsamościowym.
Równanie, które nie ma rozwiązań nazywamy równaniem sprzecznym.
Równania posiadające te same zbiory rozwiązań nazywamy równoważnymi.
Przykłady
2x + 3 = x (równanie oznaczone - tylko jedno rozwiązanie)
2 = 1 (równanie sprzeczne - brak rozwiązań)
sin2x + cos2x = 1 (równanie tożsamościowe)
cos(x) = 0 (równanie nieoznaczone - nieskończenie wiele rozwiązań)
x + y = 1 (równanie z dwiema niewiadomymi - ma nieskończenie wiele rozwiązań)
Zastosowanie prostych równań w rozwiązywaniu pewnych zagadnień znano już w starożytności, jednak sporo czasu upłynęło zanim usystematyzowano wiedzę i wprowadzeno powszechnie znane dziś oznaczenia. Początkowo rozwiązywano równania pierwszego i drugiego stopnia o współczynnikach liczbowych. W XVI wieku matematyk francuski François Viete zastąpił współczynniki liczbowe równań literami i wykrył zależności pomiędzy rozwiązaniami równania a jego współczynnikami. Odtąd symbole literowe pojawiły się w rachunkach algebry, która z nauki o rozwiązywaniu równań przekształciła się w naukę o działaniach na literach.
Równania algebraiczne
Równania liniowe
Równania kwadratowe
Równania wymierne
Równania wykładnicze
Równania logarytmiczne