Równania logarytmiczne
Równaniem logarytmicznym nazywamy takie równanie, w którym niewiadoma występuje tylko w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu.
Dziedzina równania
Wyrażenia logarytmowane i podstawa logarytmów muszą być dodatnie, oraz
podstawa logarytmu dodatkowo nie może być równa 1. Ograniczenia te wyznaczają
dziedzinę równania logarytmicznego.
Rozwiązywanie równań logarytmicznych
Przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych często korzysta się z własności logarytmów.
Jedną z metod rozwiązywania równań logarytmicznych jest doprowadzenie obu stron równania do logarytmu
wyrażenia przy tej samej podstawie.
Następnie korzystając z różnowartościowości funkcji logarytmicznej można, przy odpowiednich założeniach,
równość logarytmów zastąpić równością liczb logarytmowanych zgodnie z zasadą:
logaf(x) = logag(x)
⇔ f(x) = g(x)
Rozwiązanie równania logarytmicznego postaci f(logax) = 0
polega na zastosowaniu podstawienia logax = t
i rozwiązaniu równania f(t) = 0.
Zmienna pomocnicza t może przyjmować wszystkie wartości rzeczywiste, ponieważ zbiorem
wartości funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb rzeczywistych.
Po rozwiązaniu tego równania wracamy do zmiennej x.
Aby rozwiązać równanie logarytmiczne w przypadku, gdy logarytm nie występuje w potędze ani w wyrażeniu
wymiernym należy:
1. Ustalić odpowiednie założenia, rozwiązać je i poszukać dziedzinę równania.
2. Każdą liczbę wolno stojącą zamienić na logarytm wykorzystując wzór
a = logcca.
3. Każdą liczbę stojąca przed logarytmem włączyć jako wykładnik liczby logarytmowanej korzystając ze wzoru
m · logax = logaxm.
4. Wykorzystując prawa działań na logarytmach, lewą i prawą stronę równania doprowadzić do takiej postaci,
aby po obu stronach wystąpił tylko jeden logarytm.
5. Porównać liczby logarytmowane.
6. Sprawdzić czy rozwiązanie należy do dziedziny.