logowanie

matematyka » arytmetyka » działania na liczbach » wartości średnie » średnia harmoniczna

Średnia harmoniczna

Średnia harmoniczna dwóch liczb $a$ i $b$ równa jest
$$\overline{sr} = \frac{2 \cdot a \cdot b}{a + b}$$

Ze średnią harmoniczną mamy do czynienia, gdy pierwsza liczba przewyższa drugą o ułamek siebie samej, podczas gdy druga przewyższa trzecią o ten sam ułamek trzeciej. I tak na przykład $4$ jest średnią harmoniczną $6$ i $3$, ponieważ $6$ przewyższa $4$ o $2$, która stanowi trzecią część liczby $6$ i ponieważ $4$ przewyższa $3$ o $1$, czyli jedną trzecią $3$.

Jeżeli liczby $a$ i $b$ potraktujemy jako długości odcinków i zbudujemy trapez o podstawach $a$ i $b$, to długość odcinka równoległego do podstaw trapezu i przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych trapezu jest równa średniej harmonicznej.


Średnią harmoniczną $n$ dodatnich liczb $a_1, a_2, \ldots, a_n$ obliczamy ze wzoru $\frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \ldots + \frac{1}{a_n}}$


Ze średnią harmoniczną mamy do czynienia przy obliczaniu średniej prędkości.
Drogę z $A$ do $B$ samochód przebył z prędkością $v_1 = 60$ km/h, a z $B$ do $A$ z prędkością $v_2 = 40$ km/h. Jaka jest średnia prędkość na trasie $A-B-A$?

Oznaczmy przez $s$ odległość od $A$ do $B$
$\frac{s}{v_1} = t_1$ - czas potrzebny na pokonanie drogi z A do B
$\frac{s}{v_2} = t_2$ - czas potrzebny na pokonanie drogi z B do A
Czas potrzebny na pokonanie drogi w obie strony wynosi $t = t_1 + t_2 = \frac{s}{v_1} + \frac{s}{v_2}$

Prędkość średnia równa jest $v_{sr} = \frac{2s}{t} = \frac{2s}{\frac{s}{v_1} + \frac{s}{v_2}} = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}} = \frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$
$v_{sr} = \frac{2 \cdot 60 \cdot 40}{60 + 40} = 48$ km/h


Średnia harmoniczna liczb
Wprowadź liczby dodatnie oddzielając je średnikiem lub spacją, np. 2 3 6





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 173 drukuj