Średnia harmoniczna

Średnia harmoniczna dwóch liczb a i b równa jest
$\bar{sr} = \frac{2 a b}{a + b}$

Jeżeli liczby a i b potraktujemy jako długości odcinków i zbudujemy trapez o podstawach a i b, to długość odcinka równoległego do podstaw trapezu i przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych trapezu jest równa średniej harmonicznej.
średnia harmoniczna

Średnia harmoniczna jest wówczas, gdy pierwsza liczba przewyższa drugą o ułamek siebie samej, podczas gdy druga przewyższa trzecią o ten sam ułamek trzeciej. I tak na przykład 4 jest średnią harmoniczną 6 i 3, ponieważ 6 przewyższa 4 o 2, która stanowi trzecią część 6 i ponieważ 4 przewyższa 3 o 1, czyli jedną trzecią 3.

Średnią harmoniczną n dodatnich liczb a₁, a₂, ..., a_n nazywamy liczbę
$\frac{n}{\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ... + \frac{1}{a_{n}}}$

Średnią harmoniczną (dla liczb różnych od zera) nazywamy odwrotność średniej arytmetycznej odwrotności tych liczb. Średnia harmoniczna jest zawsze mniejsza od średniej geometrycznej, która jest zawsze mniejsza niż średnia arytmetyczna.

Ze średnią harmoniczną mamy do czynienia przy obliczaniu średniej prędkości.
Drogę z A do B samochód przebył z prędkością v₁ = 60 km/h, a z B do A z prędkością v₂ = 40 km/h. Jaka jest średnia prędkość na trasie A-B-A?

Oznaczmy przez s odległość od A do B
$\frac{s}{v_{1}} = t_{1}$ - czas jazdy z A do B
$\frac{s}{v_{2}} = t_{2}$ - czas jazdy z B do A
Czas jazdy w obie strony wynosi $t = t_{1} + t_{2} = \frac{s}{v_{1}} + \frac{s}{v_{2}}$

Prędkość średnia równa jest: $v_{s r} = \frac{2 s}{t} = \frac{2 s}{\frac{s}{v_{1}} + \frac{s}{v_{2}}} = \frac{2}{\frac{1}{v_{1}} + \frac{1}{v_{2}}} = \frac{2 v_{1} v_{2}}{v_{1} + v_{2}}$
$v_{s r} = \frac{2 \cdot 60 \cdot 40}{60 + 40} = 48$ km/h