Wartości średnie

Średnie to liczby, które określają różne rodzaje związków, jakie mogą zaistnieć między trzema liczbami.

Średnia - to dowolna funkcja μ(a₁, a₂, ..., a_n) taka, że dla dowolnych a₁, a₂, ..., a_n spełnia warunek min(a₁, a₂, ..., a_n) ≤ μ(a₁, a₂, ..., a_n) ≤ max(a₁, a₂, ..., a_n) i jednocześnie jest niemalejąca ze względu na każdą zmienną a_i.

Dla dwóch dodatnich liczb a i b:
średnia arytmetyczna: $s_{A} = \frac{a + b}{2}$
średnia geometryczna: $s_{G} = \sqrt{a b}$
średnia harmoniczna: $s_{H} = \frac{2 a b}{a + b}$
średnia kwadratowa: $s_{K} = \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$
Ustawiając te liczby od największej do najmniejszej, otrzymujemy: $s_{K} \geq s_{A} \geq s_{G} \geq s_{H}$

Jeśli liczby a, b potraktujemy jako długości odcinków i zbudujemy trapez o podstawach a i b, wówczas:

- długość odcinka równoległego do podstaw trapezu i dzielącego trapez na dwa trapezy o równych polach powierzchni (linia czerwona) jest równa średniej kwadratowej,
- długość odcinka równoległego do podstaw trapezu i łączący środki ramion trapezu (linia niebieska) jest równa średniej arytmetycznej,
- długość odcinka równoległego do podstaw trapezu i dzielący trapez na dwa trapezy podobne (linia zielona) jest równa średniej geometrycznej,
- długość odcinka równoległego do podstaw trapezu i przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych trapezu (linia żółta) jest równa średniej harmonicznej.

Średnia arytmetyczna
Średnia geometryczna
Średnia harmoniczna
Średnia kwadratowa
Średnia ważona