System dwójkowy

Najprostszym układem pozycyjnym jest dwójkowy układ numeracji zwany też systemem binarnym. Podstawę jego stanowi liczba 2, wszystkie więc liczby można zapisać dwiema tylko cyframi: 0 i 1. Liczby naturalne w systemie dwójkowym zapisujemy tak samo jak w systemie dziesiętnym - zamiast kolejnych potęg liczby dziesięć, stosujemy kolejne potęgi liczby dwa.

$a_{i-1}a_{i-2} \ldots a_{2}a_{1}a_{0} = a_{i-1} \cdot 2^{i-1} + a_{i-2} \cdot 2^{i-2} + \ldots + a_{2} \cdot 2^{2} + a_{1} \cdot 2^{1} + a_{0} \cdot 2^{0}$.

Przykład
Liczba dwójkowa $1010111 = 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 87$.


Konwersja liczby dwójkowej na zapis w systemie o innej podstawie.

Liczba dwójkowa:    Podstawa:   


Dodawanie liczb binarnych

Do wykonywania dodawania niezbędna jest znajomość tabliczki dodawania, czyli wyników sumowania czterech możliwych kombinacji bitów.
$0 + 0 = 0$
$0 + 1 = 1$
$1 + 0 = 1$
$1 + 1 = 10$

Dodając dwie liczby binarne podpisujemy je jedna pod drugą tak, aby w kolejnych kolumnach znalazły się cyfry stojące na pozycjach o tych samych wagach. Operacja jest podobna do dodawania w systemie dziesiętnym, gdzie dodawanie rozpoczynamy od ostatniej kolumny. Sumujemy cyfry w kolumnie zgodnie z podaną wyżej tabelką zapisując wynik pod kreską. Jeśli w słupku musimy dodać dwie jedynki, to jest to sytuacja analogiczna do tej, jaka występuje w systemie dziesiętnym, gdy musimy dodać dwie piątki. A więc 1 i 1 to 0 i 1 w pamięci. Pod kreską zapisujemy tylko ostatnią cyfrę 0, a 1 przechodzi do następnej kolumny, gdzie dodajemy ją do wyniku sumowania cyfr w tej kolumnie. Jeśli jedna z liczb ma mniej cyfr, to możemy uzupełnić ją o zerowe bity.

        1 1
        110100
      +  10101
       1001001
     

Mnożenie liczb binarnych

Mnożenie liczb w układzie dwójkowym jest szczególnie proste, gdyż cała tabliczka mnożenia przedstawia się następująco:
$0 \cdot 0 = 0$
$0 \cdot 1 = 0$
$1 \cdot 0 = 0$
$1 \cdot 1 = 1$

matematyka » arytmetyka » systemy liczbwe » system pozycyjny » system dwójkowy




gość logowanie

© 2014 Mariusz Śliwiński      mapa | o serwisie | kontakt | rss online: 14 drukuj