System dwójkowy
Najprostszym układem pozycyjnym jest dwójkowy układ numeracji zwany też systemem binarnym. Podstawę jego stanowi liczba 2, wszystkie więc liczby można pisać dwiema tylko cyframi: 0 i 1, a więc dowolna liczba dwójkowa zawiera same zera i jedynki. Liczby naturalne w systemie dwójkowym zapisujemy analogicznie jak w systemie dziesiętnym - zamiast kolejnych potęg liczby dziesięć, stosujemy kolejne potęgi liczby dwa.
Zapis liczby całkowitej w systemie dwójkowym ma postać:
ai-1ai-2
...
a2
a1
a0
=
ai-1 · 2i-1 +
ai-2 · 2i-2 +
... +
a2 · 22 +
a1 · 21 +
a0 · 20
Dodawanie liczb binarnych
Do wykonywania dodawania niezbędna jest znajomość tabliczki dodawania, czyli wyników sumowania każdej cyfry z każdą inną. W systemie dwójkowym mamy tylko dwie cyfry 0 i 1, zatem tabliczka dodawania jest prosta i składa się tylko z czterech pozycji:
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10
Dodając dwie liczby binarne podpisujemy je jadna pod drugą tak, aby w kolejnych kolumnach znalazły się cyfry stojące na pozycjach o tych samych wagach. Operacja jest podobna do dodawania w systemie dziesiętnym, gdzie dodawanie rozpoczynamy od ostatniej kolumny. Sumujemy cyfry w kolumnie zgodnie z podaną wyżej tabelką zapisując wynik pod kreską. Jeśli w słupku musimy dodać dwie jedynki, to jest to sytuacja analogiczna do tej, jaka występuje w systemie dziesiętnym, gdy musimy dodać dwie piątki. A więc 1 i 1 to 0 i 1 w pamięci. Pod kreską zapisujemy tylko ostatnią cyfrę 0, a 1 przechodzi do następnej kolumny, gdzie dodajemy ją do wyniku sumowania cyfr w tej kolumnie. Jeśli w krótszej liczbie zabrakło cyfr, to dopisujemy zera.
1 1
110100
+ 10101
1001001
Mnożenie liczb binarnych
Mnożenie liczb w układzie dwójkowym jest szczególnie proste, gdyż cała tabliczka
mnożenia przedstawia się następująco:
0 ∙ 0 = 0
0 ∙ 1 = 0
1 ∙ 0 = 0
1 ∙ 1 = 1
Odejmowanie można zastąpić dodawaniem, jeżeli utworzy się dopełnienie odejmowanej liczby. Dzielenie w układzie dwójkowym to wielokrotne odejmowanie.
