Pozycyjny system liczbowy

System pozycyjny to metoda zapisywania liczb w taki sposób, że w zależności od pozycji danej cyfry w ciągu, oznacza ona wielokrotność potęgi pewnej liczby uznawanej za bazę danego systemu. Liczby zapisujemy przy pomocy cyfr od strony lewej do prawej. W takiej konwencji zapisu, każda pozycja ma ściśle określoną i niezmienną wagę liczbową. System pozycyjny umożliwia zapisywanie ułamków, przy czym liczby wymierne składają się albo ze skończonej liczby znaków, albo są od pewnego miejsca okresowe.

Systemy pozycyjne posiadają pojedyncze symbole dla kilku pierwszych liczb. Cyfry te są kolejno umieszczane w ściśle określonych pozycjach i oznaczają mnożnik potęgi liczby n + 1, gdzie n jest najwyższą liczbą reprezentowaną pojedynczą cyfrą. W momencie gdy dana potęga nie jest potrzebna do zapisu danej liczby, zostawia się w zapisie puste miejsce, lub częściej specjalny symbol oznaczający zbiór pusty. Obecnie jest to cyfra zero.

Każdą liczbę przedstawiamy w postaci wyrażenia:
c_i-1 · p^i-1 + c_i-2 · p^i-2 + ... + c₂ · p² + c₁ · p¹ + c₀ · p⁰,
gdzie p jest podstawą systemu liczenia, zaś liczby oznaczone literą c z indeksami, nazywamy cyframi. Cyfry wyrażają liczbę użytych jednostek rzędu, przy której występują. Liczbę daną powyższym wyrażeniem zapisujemy w postaci:
( c_i-1c_i-2 ... c₂ c₁ c₀ )_g
Jeżeli g = 10, to piszemy c_i-1c_i-2 ... c₂ c₁ c₀

Zbiór podstawowych cech dowolnego systemu pozycyjnego o podstawie p:
1. System pozycyjny charakteryzuje liczba zwana podstawą systemu pozycyjnego.
2. Do zapisu liczby służą cyfry.
3. Cyfr jest zawsze tyle, ile wynosi podstawa systemu: 0, 1, 2, ..., (p-1)
4. Cyfry ustawiamy na kolejnych pozycjach.
5. Pozycje numerujemy od 0 poczynając od strony prawej zapisu.
6. Każda pozycja posiada swoją wagę.
7. Waga jest równa podstawie systemu podniesionej do potęgi o wartości numeru pozycji.
8. Cyfry określają ile razy waga danej pozycji uczestniczy w wartości liczby
9. Wartość liczby obliczamy sumując iloczyny cyfr przez wagi ich pozycji

Najbardziej znanym systemem pozycyjnym jest system dziesiętny, w którym za bazę przyjmuje się liczbę dziesięć. Tym samym napis 23651 można przedstawić jako:
23 651 = 2 · 10⁴ + 3 · 10³ + 6 · 10² + 5 · 10¹ + 1 · 10⁰

Zaletą systemów pozycyjnych jest ich klarowność, łatwość dokonywania nawet złożonych operacji arytmetycznych oraz możliwość zapisu dowolnie dużej liczby, jednak do zapisu bardzo dużych liczb jest potrzebna duża liczba cyfr.

---

Systemy pozycyjne

System dwójkowy	System ósemkowy	System czternastkowy
System trójkowy	System dziewiątkowy	System piętnastkowy
System czwórkowy	System dziesiętny	System szesnastkowy
System piątkowy	System jedenastkowy
System szóstkowy	System dwunastkowy
System siódemkowy	System trzynastkowy

Dla przedstawienia liczby naturalnej n przy podstawie p wykonujemy następujące czynności:
1. Obliczamy resztę z dzielenia liczby n przez liczbę p, resztę tę oznaczamy symbolem r₁
2. Obliczamy resztę z dzielenia otrzymanego ilorazu przez liczbę p, oznaczamy tę resztę symbolem r₂
3. Wykonujemy krok 2 tak długo, aż otrzymamy iloraz równy 0 i resztę r_k
4.Otrzymane reszty r₂, r₂, ... r_k zapisujemy obok siebie od strony prawej do lewej w postaci ciągu symboli r_k r_k-1...r₂r₁. Otrzymujemy rozwinięcie liczby n przy podstawie p, co zapisujemy (r_kr_k-1... r₂r₁)_p

---

Konwersja liczb
Zamień liczbę naturalną na zapis w systemie o innej podstawie.
(n < 1 000 000, podstawa = { 2, 3 , ..., 16 })

Liczba naturalna:    podstawa:   

---

Tabela przedstawiwająca zapis liczb od 0 do 20 w różnych systemach pozycyjnych liczenia (od układu dwójkowego do układu szesnastkowego)

Matematyka

Matematyka jest królową wszystkich nauk,
jej ulubieńcem jest prawda,
a prostość i oczywistość jej strojem
Jędrzej Śniadecki

kontakt mapa o witrynie pobierz

narzędzia słownik wzory tablice

• Arytmetyka
• Algebra
• Geometria
• Analiza
• Zadania
• Ciekawostki
• Liga Zadaniowa
• Matura

Prawidłową obsługę serwisu zapewnia przeglądarka Firefox

matematyka » arytmetyka » systemy liczbwe » system pozycyjny