logowanie

matematyka » arytmetyka » systemy liczbwe » system pozycyjny

Pozycyjny system liczbowy

System pozycyjny to metoda zapisywania liczb w taki sposób, że w zależności od pozycji danej cyfry w ciągu, oznacza ona wielokrotność potęgi pewnej liczby uznawanej za bazę danego systemu. Liczby zapisujemy przy pomocy cyfr od strony lewej do prawej. W takiej konwencji zapisu, każda pozycja ma ściśle określoną i niezmienną wagę liczbową. System pozycyjny umożliwia zapisywanie ułamków, przy czym liczby wymierne składają się albo ze skończonej liczby znaków, albo są od pewnego miejsca okresowe.

Systemy pozycyjne posiadają pojedyncze symbole dla kilku pierwszych liczb. Cyfry te są kolejno umieszczane w ściśle określonych pozycjach i oznaczają mnożnik potęgi liczby $n + 1$, gdzie $n$ jest najwyższą liczbą reprezentowaną pojedynczą cyfrą. W momencie, gdy dana potęga nie jest potrzebna do zapisu danej liczby, zostawia się w zapisie puste miejsce lub częściej specjalny symbol oznaczający zbiór pusty. Obecnie jest to cyfra zero.

Każdą liczbę przedstawiamy w postaci wyrażenia $c_{i-1} \cdot p^{i-1} + c_{i-2} \cdot p^{i-2} + \ldots + c_{2} \cdot p^{2} + c_{1} \cdot p^{1} + c_{0} \cdot p^{0}$,
gdzie $p$ jest podstawą systemu liczenia, zaś $c_i$ to cyfry. Cyfry wyrażają liczbę użytych jednostek rzędu, przy której występują. Powyższą liczbę zapisujemy jako ciąg cyfr $(c_{i-1}c_{i-2}\ldots c_{2}c_{1}c_{0})_g$.
Jeżeli podstawa $g$ równa jest $10$, to piszemy $c_{i-1}c_{i-2}\ldots c_{2}c_{1}c_{0}$.

Zbiór podstawowych cech dowolnego systemu pozycyjnego o podstawie $p$:
1. System pozycyjny charakteryzuje liczba zwana podstawą systemu pozycyjnego.
2. Do zapisu liczby służą cyfry.
3. Cyfr jest zawsze tyle, ile wynosi podstawa systemu: $0, 1, 2, \ldots, p-1$.
4. Cyfry ustawiamy na kolejnych pozycjach.
5. Pozycje numerujemy od $0$ poczynając od strony prawej zapisu.
6. Każda pozycja posiada swoją wagę.
7. Waga jest równa podstawie systemu podniesionej do potęgi o wartości numeru pozycji.
8. Cyfry określają ile razy waga danej pozycji uczestniczy w wartości liczby.
9. Wartość liczby obliczamy sumując iloczyny cyfr przez wagi ich pozycji.

Najbardziej znanym systemem pozycyjnym jest system dziesiętny, w którym za bazę przyjmuje się liczbę $10$. Tym samym liczbę $23651$ można przedstawić jako: $23 651 = 2 \cdot 10^4 + 3 \cdot 10^3 + 6 \cdot 10^2 + 5 \cdot 10^1 + 1 \cdot 10^0$.

Zaletą systemów pozycyjnych jest ich klarowność, łatwość dokonywania nawet złożonych operacji arytmetycznych oraz możliwość zapisu dowolnie dużej liczby, jednak do zapisu bardzo dużych liczb jest potrzebna duża liczba cyfr.


Systemy pozycyjne

System dwójkowy System ósemkowy System czternastkowy
System trójkowy System dziewiątkowy System piętnastkowy
System czwórkowy System dziesiętny System szesnastkowy
System piątkowy System jedenastkowy  
System szóstkowy System dwunastkowy  
System siódemkowy System trzynastkowy  

Dla przedstawienia liczby naturalnej $n$ przy podstawie $p$ wykonujemy następujące czynności:
1. Obliczamy resztę z dzielenia liczby $n$ przez liczbę $p$, resztę tę oznaczamy symbolem $r_1$.
2. Obliczamy resztę z dzielenia otrzymanego ilorazu przez liczbę $p$, oznaczamy tę resztę symbolem $r_2$.
3. Wykonujemy krok drugi tak długo, aż otrzymamy iloraz równy $0$ i resztę $r_k$.
4. Otrzymane reszty $r_1, r_2, \ldots, r_k$ zapisujemy obok siebie od strony prawej do lewej w postaci ciągu symboli $r_k\ldots r_2r_1$. Otrzymujemy rozwinięcie liczby $n$ przy podstawie $p$, co zapisujemy $(r_k\ldots r_2r_1)_p$.

Konwersja liczb


Tabela przedstawiająca zapis liczb od $0$ do $20$ w różnych systemach pozycyjnych liczenia (od układu dwójkowego do układu szesnastkowego).

2345678910111213141516
000000000000000
111111111111111
1022222222222222
11103333333333333
1001110444444444444
10112111055555555555
110201211106666666666
111 21 13 12 11 10 7 7 7 7 7 7 7 7 7
1000 22 20 13 12 11 10 8 8 8 8 8 8 8 8
1001 100 21 14 13 12 11 10 9 9 9 9 9 9 9
1010 101 22 20 14 13 12 1110A A A A A A
1011 102 23 21 15 14 13 12 11 10 B B B B B
1100 110 30 22 20 15 14 13 12 11 10 C C C C
1101 111 31 23 21 16 15 14 13 12 11 10 D D D
1110 112 32 24 22 20 16 15 14 13 12 11 10 E E
1111 120 33 30 23 21 17 16 15 14 13 12 11 10 F
10000 121 100 31 24 22 20 17 16 15 14 13 12 11 10
10001 122 101 32 25 23 21 18 17 16 15 14 13 12 11
10010 200 102 33 31 24 22 20 18 17 16 15 14 13 12
10011 201 103 34 31 25 23 21 19 18 17 16 15 14 13
10100 202 110 40 32 26 24 22 20 19 18 17 16 15 14




© 2018 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 50 drukuj