Tablice matematyczne

Wkrótce więcej ...

Pojęcie	Definicja
Zbiór	Pojęcie pierwotne (niedefiniowane)
Zbiór pusty Ø	Zbiór, do którego nie należy żaden element
Zbiór skończony	Zbiór jest skończony, gdy istnieje taka liczba naturalna n, że zbiór ten ma n elementów
Zbiór nieskończony	Zbiór, który nie jest skończony nazywamy zbiorem nieskończonym.
Zbiór liczbowy ograniczony	Zbiór liczbowy A nazywamy ograniczonym z góry (z dołu) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba x, że każdy element a ∈ A spełnia warunek: a ≤ x (a ≥ x).

Pojęcie	Oznaczenie	Definicja	Zapis symboliczny
Równość zbiorów	=	Zbiory A i B nazywamy równymi wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A jest elementem zbioru B	A = B ⇔ ∀_x (x∈A ⇔ x∈B)
Inkluzja zbiorów	⊂	Zbiór A zawiera się w zbiorze B wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A jest elementem zbioru B	A ⊂ B ⇔ ∀_x (x∈A ⇒ x∈B)
Iloczyn kartezjański	X	Zbiór A x B nazywamy iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B	AxB = { (x, y): x∈A ∧ y∈B }
Zbiory rozłączne	−	Zbiory, których iloczyn jest zbiorem pustym, nazywamy rozłącznymi	A ∩ B = Ø

Zbiór liczbowy to zbiór, którego elementami są liczby
Zbiór liczb naturalnych	N = { 1, 2, 3, 4, 5, ... }
Zbiór liczb całkowitych	Z = { ..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
Zbiór liczb wymiernych	$Q = {x : x = \frac{p}{q}, p \in Z, q \in N}$
Zbiór liczb niewymiernych	Liczbą niewymierną nazywamy liczbę, która nie jest liczbą wymierną, czyli nie daje się przedstawić w postaci ułamka. Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe.
Zbiór liczb rzeczywistych	Zbiór wszystkich liczb wymiernych i niewymiernych nazywa się zbiorem liczb rzeczywistych.

Rodzaj	Zapis	Definicja	Własności
Dodawanie	a + b = c	a + 0 = a 0 - element neutralny dodawania	a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c)
Odejmowanie	a - b = c	a - 0 = a	a - b = a + (-b)
Mnożenie	a · b = c	a · 1 = a 1 - element neutralny mnożenia	a · b = b · a (a · b) · c = a · (b · c) a · (b + c) = a · b + a · c
Dzielenie	a : b = c	a : b = a · $\frac{1}{b}$ , gdzie b ≠ 0	Jeżeli b ≠ 0, to a : b = c ⇔ a = b · c

Podzielność przez:	Licza naturalna jest podzielna przez:
2	gdy jej ostatnią cyfrą jest 0, 2, 4, 6 albo 8
3	gdy suma jej cyfr dzieli się przez 3
4	gdy liczba wyrażona dwiema ostatnimi jej cyframi, dzieli się przez 4
5	gdy jej ostatnią cyfrą jest 0 albo 5
6	gdy dzieli się przez 2 i przez 3
7	gdy różnica między liczbą wyrażoną kolejnymi trzema ostatnimi cyframi danej liczby a liczbą wyrażoną pozostałymi cyframi tej liczby dzieli się przez 7
8	gdy liczba wyrażona trzema ostatnimi jej cyframi dzieli się przez 8
9	gdy suma jej cyfr dzieli się przez 9
10	gdy ostatnią jej cyfrą jest 0
11	gdy różnica sumy jej cyfr stojących na miejscach parzystych i sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych dzieli się przez 11

Jeden procent pewnej liczby a (lub innej wielkości), to setna część tej liczby (wielkości), co oznaczamy 1%a
$1 % a = \frac{1}{100} \cdot a$	$p % a = \frac{p}{100} \cdot a$

Równość dwóch stosunków (ułamków) nazywamy proporcją.
a : b = c : d lub

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

, gdzie b ≠ 0 i d ≠ 0.
a i d - wyrazy skrajne,
b i c - wyrazy środkowe.

Jeżeli a : b = c : d, to:

\frac{a}{a \pm b} = \frac{c}{c \pm d}

oraz

\frac{a \pm b}{b} = \frac{c \pm d}{d}

, dla b ≠ 0 i d ≠ 0, a ≠ ±b i c ≠ ±d.

Wartością bezwzględną (modułem) liczby x nazywamy liczbę spełniającą warunek: $\| x \| = \{\begin{matrix} x dla x \geq 0 \\ - x dla x < 0 \end{matrix}$
\|x\| ≥ 0 \|x\| = \|-x\| -\|x\| ≤ x ≤ \|x\| $\| x \| = \sqrt{x^{2}}$	\|a + b\| ≤ \|a\| + \|b\| \|a - b\| ≤ \|a\| + \|b\| \|a · b\| ≤ \|a\| · \|b\| $\frac{\| a \|}{\| b \|} = \| \frac{a}{b} \|$ , dla b ≠ 0

Matematyka

Matematyka jest królową wszystkich nauk,
jej ulubieńcem jest prawda,
a prostość i oczywistość jej strojem
Jędrzej Śniadecki

Prawidłową obsługę serwisu zapewnia przeglądarka Firefox

matematyka » tablice matematyczne

Osób online: 2