logowanie

matematyka » analiza » granica i ciągłość funkcji » twierdzenia z teorii granic funkcji

Twierdzenia z teorii granic funkcji

Twierdzenie Bolzano-Cauchy'ego
Na to, aby funkcja f miała skończoną granicę g w punkcie x0 potrzeba i wystarcza, aby dla każdej liczby ε > 0 istniała liczba δ > 0 o tej własności, że jeżeli tylko argumenty x1 i x2 funkcji f spełniają nierówności
                 |x1 - x0| < δ i |x2 - x0| < ε,
gdzie x1x0, x2x0, to jest spełniona również nierówność
                 |f(x1) - f(x2)| < ε.


Jeżeli lim xx0 f(x)= i lim xx0 g(x)=b to:
lim xx0 ( f(x) + g(x) ) = ,
lim xx0 ( f(x) g(x) ) =ą∞ dla b ≠ 0,
lim xx0 f(x) g(x) =ą∞ dla b ≠ 0,
lim xx0 g(x) f(x) =0 .


Jeżeli lim xx0 f(x)= i lim xx0 g(x)= to:
lim xx0 ( f(x) + g(x) ) = ,
lim xx0 ( f(x) g(x) ) = .


Jeżeli funkcje f, g i h są określone w tym samym zbiorze X oraz:
   -    xX f(x) g(x) h(x) ,
   -    lim xx0 f(x) = lim xx0 h(x) = b ,
   -   x0 jest punktem skupienia zbioru X,
to lim xx0 g(x) = b .


Twierdzenie o granicy funkcji złożonej
Jeżeli
   -    lim xx0 f(x) = a ,
   -    ε>0 xS (x0,ε) y = f(x) a ,
   -    lim ya g(y) = b ,
to lim xx0 g(f(x)) = lim yy0 g(y) = b ,





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 84 drukuj