logowanie

matematyka » analiza » rachunek różniczkowy » twierdzenia o pochodnych funkcji

Twierdzenia o pochodnych funkcji

Na to aby funkcja f miała pochodną w punkcie x0 potrzeba i wystarcza, aby istniały w tym punkcie obie pochodne jednostronne i były sobie równe.

Funkcja f różniczkowalna w punkcie x0 jest w tym punkcie ciągła.

Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej
Jeżeli funkcja y = f(x) jest ciągła i ściśle monotoniczna w przedziale X oraz różniczkowalna w pewnym punkcie x0X, to funkcja do niej odwrotna x = g(y) jest różniczkowalna w punkcie y0 = f(x0) i g'(y0) = 1 f'(x0) , gdy f '(x0) ≠ 0.

Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej
Jeżeli funkcja u = g(x) ma w punkcie x0 pochodną g'(x0) oraz funkcja y = f(u) ma w odpowiednim punkcie u0 = g(x0) pochodną f '(u0), to funkcja złożona y = f(g(x)) ma w punkcie x0 pochodną określoną wzorem y' = f '(g(x0))g'(x0).

Twierdzenie Rolle'a
Jeżeli funkcja f spełnia następujące warunki:
    - jest ciągła w przedziale domkniętym <a, b>,
    - jest różniczkowalna w przedziale otwartym (a, b),
    - f(a) = f(b),
to istnieje taki punkt c∈(a, b), dla którego f '(c) = 0.

Twierdzenie Lagrange'a (o przyrostach funkcji)
Jeżeli funkcja f spełnia następujące warunki:
    - jest ciągła w przedziale domkniętym <x0, x>,
    - jest różniczkowalna w przedziale otwartym (x0, x),
to istnieje taki punkt c∈(x0, x), dla którego f(x) - f(x0) = f '(c)(x - x0).

Dla funkcji f ciągłej w przedziale domkniętym <a, b> i różniczkowalnej w przedziale otwartym (a, b) z twierdzenia Lagrange'a wynikają następujące wnioski:
    - funkcja f jest stała w przedziale <a, b> wtedy, gdy dla każdego x∈(a, b) f '(x) = 0.
    - jeżeli f '(x) > 0 dla każdego x∈(a, b), to funkcja f jest w tym przedziale rosnąca.
    - jeżeli f '(x) < 0 dla każdego x∈(a, b), to funkcja f jest w tym przedziale malejąca.





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 45 drukuj