logowanie

matematyka » arytmetyka » podzielno¶ć liczb » liczby pierwsze » twierdzenie o dwóch kwadratach

Twierdzenie o sumie dwóch kwadratów

Liczby pierwsze nieparzyste można podzielić na dwie grupy, pierwsza składa się z liczb, które przy dzieleniu przez $4$ daj± resztę $1$, druga grupa składa się z liczb, które przy dzieleniu przez $4$ daj± resztę $3$. Pierwsz± grupę możemy zapisać w postaci $4k + 1$, drug± grupę $4k + 3$, gdzie $k$ jest liczb± całkowit±.

Liczby pierwsze postaci:
$4k + 1$:   $5, 13, 17, 29, 37, \ldots$
$4k + 3$:   $3, 7, 11, 19, 23, \ldots$


Twierdzenie o dwóch kwadratach

Wszystkie liczby pierwsze postaci $4k + 1$ można przedstawić jako sumę dwóch kwadratów, i to tylko w jeden sposób oraz żadnej liczby pierwszej postaci $4k + 3$ nie można przedstawić w taki sposób.

Przykłady:
$5 = 1^2 + 2^2$
$13 = 2^2 + 3^2$
$17 = 1^2 + 4^2$
$29 = 2^2 + 5^2$
$37 = 1^2 + 6^2$

Liczby pierwsze postaci $4k + 1$ mniejsze od $1000$:
$5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397, 401, 409, 421, 433, 449, 457, 461, 509, 521, 541, 557, 569, 577, 593, 601, 613, 617, 641, 653, 661, 673, 677, 701, 709, 733, 757, 761, 769, 773, 797, 809, 821, 829, 853, 857, 877, 881, 929, 937, 941, 953, 977, 997$


Rozkład liczby na sumę dwóch kwadratów.

  





© 2017 Mariusz ¦liwiński      o serwisie | kontakt online: 146 drukuj