Twierdzenie o sumie dwóch kwadratów
Liczby pierwsze nieparzyste można podzielić na dwie grupy, pierwsza składa się z liczb, które przy dzieleniu przez 4 dają resztę 1, druga grupa składa się z liczb, które przy dzieleniu przez 4 dają resztę 3. Pierwszą grupę możemy zapisać w postaci 4k + 1, drugą grupę 4k + 3, gdzie k jest liczbą całkowitą.
Liczby pierwsze postaci:
4k + 1: 5, 13, 17, 29, 37, ...
4k + 3: 3, 7, 11, 19, 23, ...
Twierdzenie o dwóch kwadratach Fermata
Wszystkie liczby pierwsze postaci 4k + 1 można przedstawić jako sumę dwóch kwadratów, i to tylko w jeden sposób oraz żadnej liczby pierwszej postaci 4k + 3 nie można przedstawić w taki sposób.
Przykłady:
5 = 12 + 22
13 = 22 + 32
17 = 12 + 42
29 = 22 + 52
37 = 12 + 62
Paul Erdos, któremu udało się uogólnić Twierdzenie Bertranda-Czebyszewa pokazał, że dla dowolnej liczby naturalnej większej od 6, między liczbami n a 2n znajdują się co najmniej dwie liczby pierwsze, co najmniej jedna postaci 4k + 1 oraz co najmniej jedna postaci 4k + 3. Prawdziwe jest także, że liczb postaci 4k + 1 i 4k + 3 jest nieskończenie wiele.