Twierdzenie Wilsona
Sir John Wilson (1741 - 1793) zauważył, że gdy p jest liczbą pierwszą, wtedy resztą z dzielenia liczby (p - 1)! przez p jest zawsze p - 1.
Dla każdej liczby pierwszej p liczba (p - 1)! + 1 jest podzielna przez p.
Dowód. Niech p będzie liczbą pierwszą i niech
f(x) = (x - 1)(x - 2)...(x - p + 1) -
xp-1 + 1
będzie to wielomian stopnia p - 2 o całkowitych współczynnikach.
Dla x = 1, 2, ..., p - 1 mamy, w myśl twierdzenia Fermata,
p|xp - x = x(xp-1 - 1),
skąd p|xp-1 - 1.
Dla x = 1, 2, ..., p - 1 otrzymujemy
p|(x - 1)(x - 2)...(x - p + 1),
gdyż dla takich x jeden z czynników tego iloczynu jest zerem. Stąd wnioskujemy,
że p|f(x). Na podstawie wniosku z twierdzenia Lagrange'a, wszystkie współczynniki
wielomianu oraz wyraz wolny, są podzielne przez p.
Kryterium Wilsona dla liczb pierwszych
Godnym uwagi jest, że jeżeli dla liczby naturalnej n > 1 liczba (n - 1)! + 1 jest podzielna przez n, to n musi być liczbą pierwszą. Gdyby n było liczbą złożoną, to n = ab, gdzie 1 < a, b < n i liczba a byłaby jednym z czynników iloczynu 1 · 2 · ... · (n - 1), a więc liczba (n - 1)! + 1 przy dzieleniu przez a dawałaby resztę 1. Zachodzi sprzeczność, ponieważ będąc podzielną przez n, musi być podzielna przez a, dowodzi to, że liczba n musi być pierwszą.
Na to, aby liczba naturalna większa od 1 była pierwszą, potrzeba i wystarcza, aby liczba (n - 1)! + 1 była podzielna przez n.
W odróżnieniu od kryterium Fermata warunek Wilsona jest jednocześnie konieczny i wystarczający. Teoretycznie, za pomocą jednego tylko dzielenia możemy się przekonać, czy liczba jest czy nie jest pierwszą. Praktycznie warunek znaczenia wielkiego nie ma, ponieważ nie jest znany algorytm do szybkiego obliczania liczby n!