Wielokąty foremne

Wielokątem foremnym nazywamy taki wielokąt, w którym wszystkie boki mają równe długości i wszystkie kąty mają równe miary.

Wszystkie wielokąty foremne są figurami wypukłymi. Wielokątem foremnym o najmniejszej liczbie boków jest trójkąt równoboczny. Czworokąt foremny to kwadrat.

Miarę kąta wewnętrznego wielokąta foremnego o n bokach można obliczyć ze wzoru:
α=180°- 360° n
Suma miar kątów wewnętrznych n-kąta jest równa (n - 2) · 180°.

Pole wielokąta foremnego
a - bok n-kąta foremnego,
r - promień okręgu wpisanego w n-kąt foremny,
R - promień okręgu opisanego na n-kącie foremnym,
φ - kąt środkowy oparty na łuku wyznaczonego przez bok wielokąta.

P=12nar =12nR2 sin2πn


Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny można wpisać okrąg, a środki tych okręgów pokrywają się.

Promień okręgu opisanego na wielokącie foremnym obliczamy:
R= a 2sinπn
Promień okręgu wpisanego w wielokąt foremny obliczamy:
r= a 2tgπn

Każda symetralna boku wielokąta foremnego jest osią symetrii tego wielokąta.
Każda dwusieczna kąta wewnętrznego wielokąta foremnego zawiera się w osi symetrii tego wielokąta.


Tabela własności niektórych wielokątów foremnych
α - miara kąta wewnętrznego
P - pole wielokąta

wielokąt rysunek α P
trójkąt równoboczny wielokąty foremne 60° P=a23 4
kwadrat wielokąty foremne 90° a2
pięciokąt wielokąty foremne 108° P= a2 5(5+25) 4
sześciokąt wielokąty foremne 120° P=3a23 2


Wielokątami foremnymi zajmował się między innymi niemiecki matematyk C. F. Gauss, który w 1801 odkrył, że n-kąt foremny daje się skonstruować za pomocą cyrkla i linijki wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą postaci 2kp, gdzie p jest liczbą pierwszą Fermata.

matematyka » geometria » planimetria » figury geometryczne » wielokąty » wielokąty foremne




gość logowanie

© 2014 Mariusz Śliwiński      mapa | o serwisie | kontakt | rss online: 29 drukuj