logowanie

matematyka » analiza » granica i ciągłość funkcji » własności funkcji ciągłych

Własności funkcji ciągłych

Funkcje wielomianowe, funkcja potęgowa, wykładnicza, logarytmiczna, funkcje trygonometryczne oraz funkcje cyklometryczne są ciągłe w swoich dziedzinach.

Jeżeli funkcje f i g określone w tej samej dziedzinie X są ciągłe w punkcie x0X, to funkcje:   f + g,    f - g,    f · g,    fg , gdzie g(x0) ≠ 0,    są ciągłe w punkcie x0


Twierdzenie o ciągłości funkcji odwrotnej
Funkcja odwrotna do funkcji ciągłej i malejącej (rosnącej) jest ciągła i malejąca (rosnąca).


Twierdzenie o ciągłości funkcji złożonej
Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x0 oraz funkcja g(w) jest ciągła w punkcie w0 = fx0, to funkcja g(fx0) jest ciągła w punkcie x0.


Twierdzenie Darboux (O przyjmowaniu wartości pośrednich)
Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym <a, b> oraz:
-    f(a) < f(b),
-    p ∈ (f(a), f(b)),
to istnieje taki punkt c ∈ (a, b) dla którego   f(c) = p.


Twierdzenie Bolzano - Cauchy'ego (O zerowaniu się funkcji)
Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym <a, b>, i f(a)f(b) < 0, to istnieje taki punkt c ∈ (a, b), dla którego f(c) = 0.


Twierdzenie Weierstrassa (O osiąganiu kresów)
Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym <a, b>, to jest w nim ograniczona oraz istnieją takie punkty c1, c2 należące do tego przedziału, dla których
f(c1)= inf <a,b> f(x) i f(c2)= sup <a,b> f(x) .


Twierdzenie o lokalnym znaku funkcji
Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x0 oraz
              f(x0) > 0    (f(x0) < 0),
To istnieje takie otoczenie U(x0, ε), że dla każdego xU(x0, ε) spełniona jest nierówność
              f(x0) > 0    (f(x0) < 0).


Twierdzenie o wprowadzaniu granicy do argumentu funkcji ciągłej
Jeżeli istnieje granica właściwa lim xx0 f(x)=g i funkcja h(z) jest ciągła w punkcie
z0 = g, to lim xx0 h(f(x)) = h ( lim xx0 f(x) ) = h(x) .


Twierdzenie Cantora
Każda funkcja ciągła w przedziale domkniętym <a, b> jest w tym przedziale jednostajnie ciągła.
Wniosek: Każda funkcja jednostajnie ciągła w przedziale X jest w tym przedziale ciągła.





© 2018 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 11 drukuj