logowanie

matematyka » analiza » funkcje » rodzaje funkcji » funkcje trygonometryczne » własności funkcji trygonometrycznych

Własności funkcji trygonometrycznych

Związki pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi

Z definicji wynikają następujące związki między funkcjami trygonometrycznymi:
      tgx = sinxcosx = 1ctgx
      ctgx = cosxsinx = 1tgx
      sin2x + cos2x = 1 (jedynka trygonometryczna).

Znaki funkcji trygonometrycznych

Jeśli drugie ramię kąta będziemy obracać przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, to znaki współrzędnych punktu P będą się zmieniały, a tym samym będą się zmieniały znaki funkcji trygonometrycznych.

I II III IV
sinα + + - -
cosα + - - +
tgα + - + -
ctgα + - + -

Zapamiętaj:
W pierwszej ćwiartce wszystkie są dodatnie,
W drugiej tylko sinus,
W trzeciej tangens i cotangens,
A w czwartej cosinus.

Parzystość i nieparzystość

Zauważmy, że jeśli będziemy rozpatrywać funkcje trygonometryczne kąta x i -x, to pierwsza współrzędna wybranego punktu na drugim ramieniu kąta nie zmieni się, promień wodzący r też nie. Zmienia się tylko znak współrzędnej drugiej. Zatem jedyną funkcją parzystą wśród funkcji trygonometrycznych jest cosinus, pozostałe są nieparzyste.

Funkcja cosx jest parzysta:
   cosx = cos(−x)

Funkcje sinx, tgx i ctgx są nieparzyste:
   sinx = −sin(−x),
   tgx = −tg(−x),
   ctgx = −ctg(−x),

Okresowość

Z definicji funkcji trygonometrycznych wynika, że są one funkcjami okresowymi. Okresem podstawowym funkcji tangens i cotangens jest π, natomiast dla sinusa i cosinusa 2π. Łatwo to zauważyć wykonując obrót drugim ramieniem kąta przeciwnie lub zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

Dla funkcji trygonometryczny sinx, cosx, tgx, ctgx, gdzie x jest dowolnym kątem, a k dowolną liczbą całkowitą, zachodzi:
   sin(x + 2kπ) = sinx,
   cos(x + 2kπ) = cosx,
   tg(x + kπ) = tgx,
   ctg(x + kπ) = ctgx,





© 2018 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 61 drukuj