Liczby rzeczywiste, zadanie nr 2630

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
agus postów: 2387	2013-03-13 22:19:47 A ponadto: Liczba jest podzielna przez 37, jeżeli suma jej odcinków trzycyfrowych od prawej strony jest podzielna przez 37. Dla 3-cyfrowej 111 : 111 dzieli się przez 37 Dla 4-cyfrowej: 1 110 (tak musi wyglądać zgodnie z warunkami zadania- o tym pisałam wcześniej) 1+110 dzieli się przez 37 Dla 5-cyfrowej: 11 100 lub 10 101 będzie j.w. Dla 6-cyfrowej: 111 000, 101 010, 110 001,100 011 będzie j.w. Chyba pomysł jest dobry. Układy jedynek są właśnie na miejscach o numerze podzielnym przez 3,o numerze dającym z dzielenia przez 3 resztę 1, o numerze dającym z dzielenia przez 3 resztę 2 ,czyli np. dla ostatnio napisanej liczby na miejscu 6,2 i 1 (licząc od prawej). Uogólnić można tak: w tych 3-cyfrowych odcinkach mogą być takie 111 i 000 (różna ilość), 100, 011 i 000, 101, 010 i 000, 110, 001 i 000. Wiadomość była modyfikowana 2013-03-13 22:31:41 przez agus

Szymon postów: 657	2013-03-13 22:26:38 Pomysł może i dobry, ale ja potrzebuję rozwiązania czarno na białym ;)

tumor postów: 8070	2013-03-13 22:27:15 Zad.1. Robienie tego z Wielkiego Twierdzenia Fermata to zastosowanie wyraźnie za dużej armaty na zbyt małego wróbla. ;) Przecież mamy tu oczywistą indukcję. Przypadki $n=0,1,2,3$ sprawdzamy ręcznie. Dla $n=2$ prawda, dla pozostałych nieprawda. Przy tym dla $n=3$ mamy $3^n+4^n<5^n$ A jeśli ten warunek jest spełniony dla pewnego $n$, to także $3^{n+1}+4^{n+1}<5(3^n+4^n)<5^{n+1}$

tumor postów: 8070	2013-03-13 22:37:31 Zad.3. Zauważamy, że liczba 999 jest podzielna przez 37. Zatem reszta z dzielenia liczby x przez 37 jest identyczna jak reszta z dzielenia liczby $1000x$ przez 37, bo $1000x=999*x+x$. Stąd reszta z dzielenia $10^{3k}$ przez 37 jest równa 1 niezależnie od k. Reszta z dzielenia $10^{3l+1}$ przez 37 jest taka sama dla każdego l, czyli taka jak reszta z dzielenia 10 przez 37, czyli wynosi 10. Wreszcie reszta z dzielenia $10^{3m+2}$ przez 37 jest taka, jak reszta z dzielenia $10^2=100$ przez 37, czyli równa 26. Suma tych reszt to 37, czyli suma wymienionych liczb dzieli się bez reszty przez 37.

Szymon postów: 657	2013-03-13 22:37:33 Zadanie 1. zrobiłem następująco : cyfry jedności kolejnych potęg 3 : 3,9,7,1,3,9,7,1,... cyfry jedności kolejnych potęg 4 : 4,6,4,6,4,6,4,6,... cyfry jedności kolejnych potęg 5 : 5,5,5,5,5,5,5,5,... 9+6=15 Czyli równość : $3^n+4^n=5^n$ jest spełniona dla n = 4k+2 $3^{4k+2}+4^{4k+2}=5^{4k+2}$ $3^{2(k+1)}+4^{2(k+1)}=5^{2(k+1)}$ $9^{k+1}+16^{k+1}=25^{k+1}$ Oczywiście 9+16=25 ,więc $9^1+16^1=25^1$ k+1 = 1 k = 0 $n = 4k+2 = 4\cdot0 + 2 = 2$ n = 2

tumor postów: 8070	2013-03-13 22:40:46 To rozwiązanie sprowadza zagadnienie $3^n+4^n=5^n$ do zagadnienia $9^{k+1}+16^{k+1}=25^{k+1}$ tylko wypada POKAZAĆ, że k=0 jest rozwiązaniem jedynym. :) Co bije po oczach, ale w zasadzie nie mniej bije po oczach rozwiązanie problemu wyjściowego :)

strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj