Inne, zadanie nr 4298

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
ania23aa postów: 16	2014-05-02 10:04:53 Dany jest trójkat ABC gdzie A=(0,3) B=(2,1) C=(3,1). Narysuj ten trójkat w układzie współrzędnych oraz jego obraz w symetrii wzgledem : a) osi OX b) prostej y=2x+1

ania23aa postów: 16	2014-05-02 10:05:20 Prostokąty ABCD i A'B'C'D' są symetryczne względem początku układu współrzędnych . Oblicz pole części wspólnej tych prostokątów , gdy: A=(-3,-2), , B=(5,-2), C=(5,3) D=(-3,3)

tumor postów: 8070	2014-05-02 11:12:26 a) w symetrii względem ox druga współrzędna zmieni się na przeciwną, otrzymamy $A`=(0,-3) B`=(2,-1) C`=(3,-1)$ b) symetria względem $y=2x+1$ jest nieco trudniejsza. Zrobimy może wektorami? Jeśli mamy prostą $y=ax+b$, to jednym z wektorów równoległych do niej jest $[1,a]$, natomiast jednym z prostopadłych $[a,-1]$. W naszym przypadku wektor prostopadły to $[2,-1]$. Dla punktu $A$ środek $AA`$ (gdzie $A`$ będzie obrazem $A$ w symetrii) leży na prostej $y=2x+1$ Musimy mieć $A+k[2,-1]$ należy do prostej $y=2x+1$, czyli $(0,3)+[2k,-k]$ należy do prostej $y=2x+1$, czyli $(2k,3-k)$ należy do prostej $y=2x+1$, czyli $3-k=2(2k)+1$ stąd $k=\frac{2}{5}$ Natomiast $A`=A+2k[2,-1]=(0,3)+\frac{4}{5}[2,-1]=(\frac{8}{5},\frac{11}{5})$ ---- Analogicznie dla punktu $B$ $(2,1)+k[2,-1]$ należy do $y=2x+1$ $1-k=2(2+2k)+1$ $-4=5k$ $k=\frac{-4}{5}$ $B`=(2,1)-\frac{8}{5}[2,-1]=(\frac{-6}{5},\frac{13}{5})$ i dla punktu $C$ $(3,1)+k[2,-1]$ należy do $y=2x+1$ $1-k=2(3+2k)+1$ $-6=5k$ $k=\frac{-6}{5}$ $C`=(3,1)-\frac{12}{5}[2,-1]=(\frac{-9}{5},\frac{13}{5})$ ---- Inaczej: Jeśli przesuniemy prostą $y=2x+1$ by przechodziła przez $A=(0,3)$, to dostaniemy wzór prostej $r$ $y-3=2(x-0)$ $y=2x+3$ W stosunku do prostej $y=2x+1$ prosta $r$ jest przesunięta $2$ jednostki w górę. Natomiast prostą $r`$ stworzymy przesuwając w przeciwną stronę, o dwie jednostki w dół, otrzymując $y=2x-1$. Tak jak prosta $y=2x+3$ przechodzi przez $A$, tak $y=2x-1$ przechodzić będzie przez $A`$. Współrzędne punktu $A`$ to rozwiązanie układu $\left\{\begin{matrix} y=2x-1 \\ y-3=\frac{-1}{2}(x-0) \end{matrix}\right.$ gdzie druga z tych prostych jest prostopadła do $r$ i przechodzi przez $A$ i $A`$. -------- Jeszcze inaczej. Punkt $S_A$ niech będzie rozwiązaniem układu $\left\{\begin{matrix} y=2x+1 \\ y-3=\frac{-1}{2}(x-0) \end{matrix}\right.$ Jest to środek odcinka $AA`$. Dodając do $A$ wektor $\vec{AS_A}$ otrzymujemy oczywiście $S_A$, natomiast dodając do $S_A$ wektor $\vec{AS_A}$ otrzymujemy $A`$

tumor postów: 8070	2014-05-02 11:26:01 Prostokąt P: $ A=(-3,-2), B=(5,-2), C=(5,3), D=(-3,3) $ Prostokąt P`: $ A`=(3,2), B`=(-5,2), C`=(-5,-3), D`=(3,-3)$ Oba prostokąty mają boki równoległe do osi, z czego za chwilę skorzystamy. Zauważmy, że punkty prostokąta P spełniają warunek $-3\le x \le 5$ $-2\le y \le 3$ Zatem wewnątrz prostokąta P znajduje się tylko jeden wierzchołek prostokąta P` i jest to $A`=(3,2)$. Podobnie (przez symetrię) $A=(-3,-2)$ będzie w środku prostokąta P`. Częścią wspólną figur P i P` jest prostokąt, którego przeciwległymi wierzchołkami są punkty $A$ i $A`$. Natomiast boki części wspólnej mają długość $\|y_A-y_{A`}\|$ i $\|x_A-x_{A`}\|$ czyli $\|-2-2\|$ i $\|-3-3\|$, czyli $4$ i $6$. Pole to $4*6=24 $

strony: 1 2 3

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj